Mengurai Misteri Logaritma: Solusi Cerdas untuk Soal-Soal Rumit ##
Logaritma, sebuah konsep matematika yang mungkin tampak rumit pada awalnya, sebenarnya memiliki keindahan tersendiri dalam penyelesaiannya. Dengan memahami sifat-sifat logaritma dan menerapkannya dengan tepat, kita dapat memecahkan soal-soal yang tampak rumit dengan mudah. Mari kita selami dunia logaritma dan temukan solusi cerdas untuk soal-soal yang diberikan. a) ${}^{2}log10+^{2}log6-^{2}log5-^{2}log3$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat memanfaatkan sifat-sifat logaritma berikut: * Sifat perkalian: ${}^{a}log(b \cdot c) = {}^{a}log b + {}^{a}log c$ * Sifat pembagian: ${}^{a}log(b/c) = {}^{a}log b - {}^{a}log c$ Dengan menerapkan sifat-sifat tersebut, kita dapat menyederhanakan persamaan: ${}^{2}log10+^{2}log6-^{2}log5-^{2}log3 = {}^{2}log(10 \cdot 6) - {}^{2}log(5 \cdot 3) = {}^{2}log60 - {}^{2}log15$ Selanjutnya, kita dapat menggunakan sifat pembagian: ${}^{2}log60 - {}^{2}log15 = {}^{2}log(60/15) = {}^{2}log4$ Karena $2^2 = 4$, maka ${}^{2}log4 = 2$. Jadi, hasil dari ${}^{2}log10+^{2}log6-^{2}log5-^{2}log3$ adalah 2. b) ${}^{7}log\frac {1}{49}+^{5}log2\cdot ^{8}log125-^{\frac {1}{27}}log9$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma berikut: * Sifat pangkat: ${}^{a}log b^c = c \cdot {}^{a}log b$ * Sifat basis: ${}^{a}log b = \frac{1}{{}^{b}log a}$ * Sifat perubahan basis: ${}^{a}log b = \frac{{}^{c}log b}{{}^{c}log a}$ Mari kita selesaikan persamaan langkah demi langkah: * ${}^{7}log\frac {1}{49}$: Karena $\frac{1}{49} = 7^{-2}$, maka ${}^{7}log\frac {1}{49} = {}^{7}log7^{-2} = -2 \cdot {}^{7}log7 = -2$. * ${}^{5}log2\cdot ^{8}log125$: Kita dapat mengubah basis ${}^{8}log125$ menjadi basis 5 menggunakan sifat perubahan basis: ${}^{8}log125 = \frac{{}^{5}log125}{{}^{5}log8}$. Karena $125 = 5^3$ dan $8 = 2^3$, maka ${}^{5}log125 = 3$ dan ${}^{5}log8 = \frac{3}{log_2 5}$. Dengan demikian, ${}^{5}log2\cdot ^{8}log125 = {}^{5}log2 \cdot \frac{3}{\frac{3}{log_2 5}} = {}^{5}log2 \cdot log_2 5 = 1$. * ${}^{\frac {1}{27}}log9$: Kita dapat mengubah basis menjadi 3 menggunakan sifat perubahan basis: ${}^{\frac {1}{27}}log9 = \frac{{}^{3}log9}{{}^{3}log\frac{1}{27}}$. Karena $9 = 3^2$ dan $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, maka ${}^{3}log9 = 2$ dan ${}^{3}log\frac{1}{27} = -3$. Dengan demikian, ${}^{\frac {1}{27}}log9 = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$. Sekarang, kita dapat menggabungkan semua hasil: ${}^{7}log\frac {1}{49}+^{5}log2\cdot ^{8}log125-^{\frac {1}{27}}log9 = -2 + 1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$. Jadi, hasil dari ${}^{7}log\frac {1}{49}+^{5}log2\cdot ^{8}log125-^{\frac {1}{27}}log9$ adalah $-\frac{1}{3}$. Kesimpulan: Melalui pemahaman sifat-sifat logaritma dan penerapannya yang tepat, kita dapat memecahkan soal-soal logaritma yang tampak rumit dengan mudah. Logaritma, meskipun tampak menakutkan pada awalnya, sebenarnya merupakan alat yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika. Dengan latihan dan pemahaman yang mendalam, kita dapat menguasai konsep logaritma dan menikmati keindahannya dalam memecahkan soal-soal yang menantang.