- Contoh 11.1 Dipunyai Grup (Z,+) . Didefinisikan pemetaan f:Zarrow Z dengan definisi f(n)-2n untuk setiap nin Z Tunjukkan bahwa f adalah homomorfisma grup. Misalkan G grup . Pemetaan Phi :Garrow G dikatakan homo- morfisma grup apabila untuk setiap x,y(G berlaku p(xy) Phi (x)varphi (y) Maka untuk menunjukkan f homomorfisma grup, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap n_(1),n_(2)in Z berlaku f(n_(1)+n_(2))=f(n_(1))+f(n_(2))

Untuk menunjukkan bahwa `f: Z → Z` dengan definisi `f(n) = 2n` untuk setiap `n ∈ Z` adalah homomorfisma grup, kita perlu membuktikan bahwa untuk setiap `n₁, n₂ ∈ Z`, berlaku `f(n₁ + n₂) = f(n₁) + f(n₂)`.**Bukti:**Ambil sebarang `n₁, n₂ ∈ Z`. Kita akan memeriksa apakah persamaan `f(n₁ + n₂) = f(n₁) + f(n₂)` terpenuhi.* **Sisi kiri (LHS):** `f(n₁ + n₂) = 2(n₁ + n₂) = 2n₁ + 2n₂` (berdasarkan definisi f)* **Sisi kanan (RHS):** `f(n₁) + f(n₂) = 2n₁ + 2n₂` (berdasarkan definisi f)Karena LHS = RHS, yaitu `2n₁ + 2n₂ = 2n₁ + 2n₂`, maka persamaan `f(n₁ + n₂) = f(n₁) + f(n₂)` terbukti benar untuk setiap `n₁, n₂ ∈ Z`.**Kesimpulan:**Karena `f(n₁ + n₂) = f(n₁) + f(n₂)` berlaku untuk semua `n₁, n₂ ∈ Z`, maka pemetaan `f: Z → Z` dengan `f(n) = 2n` adalah **homomorfisma grup**.