Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari faktor-faktor linear dari polinomial \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 + x - 2 \). Langkah pertama adalah mencari akar-akar rasional dari polinomial tersebut.### a. Semua faktor linearFaktor linear dari suatu polinomial adalah bentuk \((x - c)\), di mana
adalah akar dari polinomial tersebut. Untuk menemukan faktor-faktor ini, kita harus mencari nilai-nilai
yang membuat \(f(x) = 0\).### b. Banyak linearBanyak faktor linear dari polinomial derajat
adalah
. Karena \(f(x)\) adalah polinomial derajat 3, maka banyak faktor linear yang mungkin adalah 3.### c. Semua akar-akar rasionalUntuk menemukan akar-akar rasional, kita dapat menggunakan Teorema Faktor (Faktorial). Teorema ini menyatakan bahwa jika
adalah akar rasional dari polinomial dengan koefisien bilat, maka
harus memenuhi bentuk
, di mana
adalah faktor dari suku konstanta (dalam hal ini -2) dan
adalah faktor dari suku leading (dalam hal ini 2).Faktor-faktor dari -2 adalah
.Faktor-faktor dari 2 adalah
.Jadi, akar-akar rasional yang mungkin adalah:
Kita akan memeriksa masing-masing nilai ini untuk melihat apakah mereka benar-benar merupakan akar dari \(f(x)\).1. **Memeriksa
:**
2. **Memeriksa
:**
3. **Memeriksa
:**
4. **Memeriksa
:**
5. **Memeriksa
:**
6. **Memeriksa
:** \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 5\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = -\frac{2}{8} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \