Untuk menyelesaikan persamaan diferensial
menggunakan metode koefisien tak tentu, kita pertama-tama mencari solusi homogen dari persamaan diferensial homogen yang sesuai, yaitu:
.Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial homogen ini adalah
. Kita mencari akar-akar persamaan ini dengan mengatur
dan mencoba mencari nilai-nilai
yang memenuhi persamaan tersebut.Kita bisa mencoba metode faktorisasi untuk mencari akar-akar persamaan karakteristik. Dengan mencoba beberapa nilai, kita menemukan bahwa
adalah akar dari persamaan karakteristik, sehingga kita dapat membagi persamaan karakteristik dengan
untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru:
(r - 1)(r + 2) = 0
r = 1
r = -2
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x}.Di mana
,
, dan
adalah konstanta yang akan kita tentukan berdasarkan kondisi awal atau batas yang diberikan dalam soal.Selanjutnya, kita mencari solusi partikular
dari persamaan diferensial non-homogen. Karena bentuk kanan persamaan diferensial adalah
, kita mencoba solusi partikular berbentuk:
y_p
y_p' = 2Ax + Be^x
y_p'' = 2A + Be^x
y_p''' = Be^x
y_p
y_p'
y_p''
y_p'''
Be^x + 2A + 2Be^x - 2Ax - 2C = x^2 + e^x
B = 1
e^x
2A + 2B = 0
x
-2C = x^2
x^2
A
B
C
A\frac{1}{2}
B = 1
C = -\frac{1}{2}x^2
y_p = -\frac{1}{2}x^2 + e^x - \frac{1}{2}x^2
y = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 + e^xfrac{1}{2}x^2$.Jika tidak ada kondisi awal atau batas yang diberikan dalam soal, maka solusi umum ini adalah solusi dari persamaan diferensial yang dicari.