Menguasai Batasan: Menyelesaikan Limit Divergence

Dalam dunia matematika, limit adalah konsep fundamental yang memungkinkan kita memahami perilaku fungsi saat variabel mendekati nilai tertentu. Salah satu jenis limit yang paling menantang adalah limit yang melibatkan akar kuadrat. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi limit berikut: \[ \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2x^{2}+3x}-\sqrt {2x^{2}-5} \] Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu mengatasi beberapa tantangan. Pertama, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam akar kuadrat. Kita dapat melakukannya dengan menggabungkan istilah-istilah yang serupa dan mengeluarkan faktor terbesar dari setiap akar kuadrat. Dengan melakukan ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi: \[ \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2x^{2}+3x}-\sqrt {2x^{2}-5} = \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2x^{2}(1+\frac{3}{2x})}-\sqrt {2x^{2}(1-\frac{5}{2x^{2}})} \] Selanjutnya, kita dapat membagi setiap akar kuadrat dengan \(x\sqrt{2}\) untuk mendapatkan: \[ \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2x^{2}(1+\frac{3}{2x})}-\sqrt {2x^{2}(1-\frac{5}{2x^{2}})} = \lim _{x\rightarrow \infty }x\sqrt {2(1+\frac{3}{2x})}-x\sqrt {2(1-\frac{5}{2x^{2}})} \] Sekarang, kita dapat membagi setiap istilah dengan \(x\) lagi untuk mendapatkan: \[ \lim _{x\rightarrow \infty }x\sqrt {2(1+\frac{3}{2x})}-x\sqrt {2(1-\frac{5}{2x^{2}})} = \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2(1+\frac{3}{2x})}-\sqrt {2(1-\frac{5}{2x^{2}})} \] Ketika \(x\) mendekati tak hingga, istilah \(\frac{3}{2x}\) dan \(\frac{5}{2x^{2}}\) akan mendekati nol. Oleh karena itu, kita dapat menyederhanakan ekspresi lebih lanjut menjadi: \[ \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {2(1+\frac{3}{2x})}-\sqrt {2(1-\frac{5}{2x^{2}})} = \sqrt {2(1+0)}-\sqrt {2(1-0)} \] Akhirnya, kita dapat menyederhanakan ekspresi menjadi: \[ \sqrt {2(1+0)}-\sqrt {2(1-0)} = \sqrt {2}-\sqrt {2} = 0 \] Jadi, limit dari ekspresi tersebut adalah 0. Ini menunjukkan bahwa saat \(x\) mendekati tak hingga, perbedaan antara akar kuadrat dari \(2x^{2}+3x\) dan \(2x^{2}-5\) akan mendekati nol. Dalam kesimpulan, dengan mengikuti langkah-langkah yang tepat dan memahami sifat-sifat dasar akar kuadrat, kita dapat menyelesaikan limit ini dengan sukses. Ini adalah contoh bagus dari bagaimana pemahaman konsep matematika dapat membantu kita mengatasi tantangan yang kompleks dan mendapatkan hasil yang akurat.