Menentukan Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar yang Diketahui
3 (228 suara) Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika, khususnya aljabar. Memahami cara menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diketahui adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai soal matematika dan penerapannya di dunia nyata. Artikel ini akan membahas langkah-langkah sistematis untuk menemukan persamaan kuadrat ketika akar-akarnya diberikan.
Hubungan Antara Akar-akar dan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax² + bx + c = 0, di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a ≠ 0. Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, yang berarti ketika nilai-nilai ini disubstitusikan ke dalam persamaan, persamaan tersebut akan menjadi benar. Hubungan antara akar-akar (α dan β) dan koefisien persamaan kuadrat diberikan oleh:α + β = -b/a
αβ = c/a
Menentukan Persamaan Kuadrat
Untuk menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diketahui, kita dapat menggunakan rumus berikut:x² - (α + β)x + αβ = 0
Rumus ini diturunkan dari hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat yang telah dijelaskan sebelumnya.
Penerapan Rumus
Misalkan kita ingin menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan -3.Langkah 1: Identifikasi akar-akarnya. Dalam hal ini, α = 2 dan β = -3.
Langkah 2: Gunakan rumus x² - (α + β)x + αβ = 0.
Langkah 3: Substitusikan nilai α dan β ke dalam rumus:
x² - (2 + (-3))x + (2)(-3) = 0
Langkah 4: Sederhanakan persamaan:
x² + x - 6 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -3 adalah x² + x - 6 = 0.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -1/2 dan 3/4.Langkah 1: α = -1/2 dan β = 3/4.
Langkah 2: Gunakan rumus x² - (α + β)x + αβ = 0.
Langkah 3: Substitusikan nilai α dan β:
x² - (-1/2 + 3/4)x + (-1/2)(3/4) = 0
Langkah 4: Sederhanakan persamaan:
x² - (1/4)x - 3/8 = 0
Untuk menghilangkan pecahan, kalikan kedua ruas persamaan dengan 8:
8x² - 2x - 3 = 0
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1/2 dan 3/4 adalah 8x² - 2x - 3 = 0.
Menentukan persamaan kuadrat dengan akar-akar yang diketahui merupakan keterampilan penting dalam aljabar. Dengan memahami hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat, dan dengan menggunakan rumus yang telah dijelaskan, kita dapat dengan mudah menemukan persamaan kuadrat yang sesuai. Pemahaman konsep ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai soal matematika dan problem solving di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.
