Mencari Nilai Maksimum dari Fungsi Obyektif dengan Sistem Persamaan

Dalam matematika, sistem persamaan adalah kumpulan persamaan yang harus dipenuhi secara bersamaan. Dalam kasus ini, kita memiliki sistem persamaan berikut: 2x + y < 8, x + y < 5, x ≤ 20, dan y ≤ 20. Tugas kita adalah mencari nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x) = 5x + 7y dengan memenuhi sistem persamaan ini. Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi obyektif, kita perlu memahami konsep dasar pemrograman linear. Pemrograman linear adalah metode matematika yang digunakan untuk memaksimalkan atau meminimalkan fungsi linier tertentu, yang dikenal sebagai fungsi obyektif, dengan mempertimbangkan sejumlah batasan linier. Dalam kasus ini, batasan linier kita adalah sistem persamaan yang telah diberikan. Kita harus memastikan bahwa nilai x dan y yang kita pilih memenuhi semua persamaan dalam sistem ini. Jika kita melanggar salah satu persamaan, maka solusi kita tidak akan valid. Untuk mencari nilai maksimum dari fungsi obyektif, kita dapat menggunakan metode grafik atau metode substitusi. Namun, karena sistem persamaan ini memiliki lebih dari dua variabel, metode grafik tidak akan efisien. Oleh karena itu, kita akan menggunakan metode substitusi. Langkah pertama adalah memilih salah satu persamaan dalam sistem ini dan menyelesaikannya untuk salah satu variabel. Misalnya, kita dapat memilih persamaan pertama, 2x + y < 8, dan menyelesaikannya untuk y. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan y < 8 - 2x. Langkah kedua adalah menggantikan nilai y dalam fungsi obyektif dengan ekspresi yang kita dapatkan dari persamaan yang diselesaikan sebelumnya. Dalam kasus ini, kita akan menggantikan y dengan 8 - 2x dalam f(x) = 5x + 7y. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan f(x) = 5x + 7(8 - 2x). Langkah ketiga adalah menyederhanakan fungsi obyektif yang telah kita dapatkan. Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan 7 dengan 8 dan -2x, dan kemudian menggabungkan suku-suku yang serupa. Setelah menyederhanakan, kita mendapatkan f(x) = 5x + 56 - 14x. Langkah terakhir adalah mencari nilai maksimum dari fungsi obyektif yang telah disederhanakan. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari titik stasioner, yaitu titik di mana turunan pertama fungsi obyektif sama dengan nol. Dalam kasus ini, kita akan mencari turunan pertama dari f(x) = 5x + 56 - 14x, dan menyelesaikannya untuk x. Setelah menyelesaikan turunan pertama, kita mendapatkan -9x + 5 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan x = 5/9. Setelah menemukan nilai x, kita dapat menggantikan nilai x dalam persamaan yang diselesaikan sebelumnya untuk mendapatkan nilai y yang sesuai. Dalam kasus ini, kita akan menggantikan x dengan 5/9 dalam y < 8 - 2x. Setelah menggantikan, kita mendapatkan y < 8 - 2(5/9). Setelah menyederhanakan, kita mendapatkan y < 8 - 10/9. Dengan menyederhanakan lebih lanjut, kita mendapatkan y < 62/9. Dengan demikian, nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x) = 5x + 7y dengan memenuhi sistem persamaan 2x + y < 8, x + y < 5, x ≤ 20, dan y ≤ 20 adalah ketika x = 5/9 dan y < 62/9.