6. Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u ortogonal terhadap a! a. (5 poin) u=(6,2),a=(3,-9) b (5poin)u=(3,1,-7),a=(1,0,5) square disappointed square

Question

Pertanyaan

6. Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u ortogonal terhadap a! a. (5 poin) u=(6,2),a=(3,-9) b (5poin)u=(3,1,-7),a=(1,0,5) square disappointed square

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menentukan komponen vektor \( \mathbf{u} \) sepanjang \( \mathbf{a} \) dan komponen vektor \( \mathbf{u} \) ortogonal terhadap \( \mathbf{a} \), kita perlu melakukan proyeksi vektor dan mencari komponen ortogonalnya.

a. Vektor \( \mathbf{u} = (6, 2) \) dan \( \mathbf{a} = (3, -9) \)

Komponen Vektor \( \mathbf{u} \) Sepanjang \( \mathbf{a} \)

Proyeksi vektor \( \mathbf{u} \) ke arah \( \mathbf{a} \) diberikan oleh:

\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \right) \mathbf{a} \]

Pertama, hitung dot product \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} \):

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = 6 \cdot 3 + 2 \cdot (-9) = 18 - 18 = 0 \]

Kemudian, hitung norma \( \mathbf{a} \):

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \]

Jadi, proyeksi \( \mathbf{u} \) ke \( \mathbf{a} \) adalah:

\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \left( \frac{0}{(3\sqrt{10})^2} \right) \mathbf{a} = 0 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{0} \]

Komponen Vektor \( \mathbf{u} \) Ortogonal Terhadap \( \mathbf{a} \)

Komponen ortogonal adalah selisih antara vektor asli dan proyeksinya:

\[ \mathbf{u}_{\perp} = \mathbf{u} - \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \mathbf{u} - \mathbf{0} = \mathbf{u} \]

Jadi, komponen ortogonal adalah:

\[ \mathbf{u}_{\perp} = (6, 2) \]

b. Vektor \( \mathbf{u} = (3, 1, -7) \) dan \( \mathbf{a} = (1, 0, 5) \)

Komponen Vektor \( \mathbf{u} \) Sepanjang \( \mathbf{a} \)

Proyeksi vektor \( \mathbf{u} \) ke arah \( \mathbf{a} \) diberikan oleh:

\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|^2} \right) \mathbf{a} \]

Pertama, hitung dot product \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} \):

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-7) \cdot 5 = 3 + 0 - 35 = -32 \]

Kemudian, hitung norma \( \mathbf{a} \):

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 0 + 25} = \sqrt{26} \]

Jadi, proyeksi \( \mathbf{u} \) ke \( \mathbf{a} \) adalah:

\[ \text{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} = \left( \frac{-32}{26} \right) \mathbf{a} = -\frac{16}{13} \mathbf{a} = -\frac{16}{13} (1, 0, 5) = \left( -\frac{16}{13}, 0, -\frac{80}{13

Pertanyaan

6. Tentukan komponen vektor u sepanjang a dan komponen vektor u ortogonal terhadap a! a. (5 poin) u=(6,2),a=(3,-9) b (5poin)u=(3,1,-7),a=(1,0,5) square disappointed square

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih