4. Diketahui suku banyak f(x)=2x^3+5x^2+x-2 Tentukan: a. semua factor linier b. banyak factor linear c. semua akar-akar rasional d. banyaknya akar rasional

Question

Pertanyaan

4. Diketahui suku banyak f(x)=2x^3+5x^2+x-2 Tentukan: a. semua factor linier b. banyak factor linear c. semua akar-akar rasional d. banyaknya akar rasional

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari faktor-faktor linear dari polinomial \( f(x) = 2x^3 + 5x^2 + x - 2 \). Langkah pertama adalah mencari akar-akar rasional dari polinomial tersebut.

a. Semua faktor linear

Faktor linear dari suatu polinomial adalah bentuk \((x - c)\), di mana \(c\) adalah akar dari polinomial tersebut. Untuk menemukan faktor-faktor ini, kita harus mencari nilai-nilai \(x\) yang membuat \(f(x) = 0\).

b. Banyak linear

Banyak faktor linear dari polinomial derajat \(n\) adalah \(n\). Karena \(f(x)\) adalah polinomial derajat 3, maka banyak faktor linear yang mungkin adalah 3.

c. Semua akar-akar rasional

Untuk menemukan akar-akar rasional, kita dapat menggunakan Teorema Faktor (Faktorial). Teorema ini menyatakan bahwa jika \(a\) adalah akar rasional dari polinomial dengan koefisien bilat, maka \(a\) harus memenuhi bentuk \(\frac{p}{q}\), di mana \(p\) adalah faktor dari suku konstanta (dalam hal ini -2) dan \(q\) adalah faktor dari suku leading (dalam hal ini 2).

Faktor-faktor dari -2 adalah \(\pm 1, \pm 2\).
Faktor-faktor dari 2 adalah \(\pm 1, \pm 2\).

Jadi, akar-akar rasional yang mungkin adalah:

\[
\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}
\]

Kita akan memeriksa masing-masing nilai ini untuk melihat apakah mereka benar-benar merupakan akar dari \(f(x)\).

1. Memeriksa \(x = 1\):
\[
f(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 + 1 - 2 = 2 + 5 + 1 - 2 = 6 \quad (\text{bukan akar})
\]

2. Memeriksa \(x = -1\):
\[
f(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + (-1) - 2 = -2 + 5 - 1 - 2 = 0 \quad (\text{akar})
\]

3. Memeriksa \(x = 2\):
\[
f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 + 2 - 2 = 16 + 20 + 2 - 2 = 38 \quad (\text{bukan akar})
\]

4. Memeriksa \(x = -2\):
\[
f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 + (-2) - 2 = -16 + 20 - 2 - 2 = 0 \quad (\text{akar})
\]

5. Memeriksa \(x = \frac{1}{2}\):
\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2}{8} + \frac{5}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} + \frac{2}{4} - 2 = \frac{8}{4} - 2 = 2 - 2 = 0 \quad (\text{akar})
\]

6. Memeriksa \(x = -\frac{1}{2}\):
\[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 5\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = -\frac{2}{8} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \

Pertanyaan

4. Diketahui suku banyak f(x)=2x^3+5x^2+x-2 Tentukan: a. semua factor linier b. banyak factor linear c. semua akar-akar rasional d. banyaknya akar rasional

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih