=int_(0)^(pi)/(2)(sin ^2 t-cos ^2 t) sin t) d t

Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu mengintegrasikan fungsi yang diberikan dengan variabel \( x \) dalam batas dari 0 hingga \( \frac{\pi}{2} \).

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \cos^2 x + 2 \sin x) \, dx
\]

Mari kita pisahkan integral ini menjadi tiga bagian:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx
\]

Kita akan menyelesaikan masing-masing integral ini satu per satu.

1. Integral pertama:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx
\]

Gunakan substitusi trigonometri: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2x)) \, dx
\]

Pisahkan integral:

\[
= \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx \right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left( x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \sin(2x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right)
\]

Evaluasi batas:

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}
\]

2. Integral kedua:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx
\]

Gunakan substitusi trigonometri: \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\).

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2x)) \, dx
\]

Pisahkan integral:

\[
= \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \, dx \right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left( x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{2} \sin(2x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right)
\]

Evaluasi batas:

\[
= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi}{4}
\]

3. Integral ketiga:

\[
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx
\]

\[
= 2 \left( -\cos x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right)
\]

Evaluasi batas:

\[
= 2 \left( -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cos(0) \right) = 2 \left( -0 + 1 \right) = 2
\]

Gabungkan hasil dari ketiga integral tersebut:

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \cos^2 x + 2 \sin x) \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2 = 2
\]

Jadi, nilai dari integral tersebut adalah:

\[
\boxed{2}
\]