Deng an ind uksi m atem atika , buktik an hal b eriku t: 1+2+3+... +n=1/2n(n+1)

Question

Pertanyaan

Deng an ind uksi m atem atika , buktik an hal b eriku t: 1+2+3+... +n=1/2n(n+1)

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk membuktikan rumus jumlah deret aritmatika \(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)\) menggunakan induksi matematika, kita akan mengikuti dua langkah utama: basis induksi dan langkah induksi.

Basis Induksi:

Kita perlu membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk \(n = 1\).

\[
1 = \frac{1}{2} \times 1 \times (1 + 1)
\]

\[
1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2
\]

\[
1 = 1
\]

Jadi, rumus tersebut benar untuk \(n = 1\).

Langkah Induksi:

Kita asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk suatu \(k\), yaitu:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2} k (k + 1)
\]

Kemudian, kita harus membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk \(k + 1\), yaitu:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1) (k + 2)
\]

Mulai dari asumsi induksi:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2} k (k + 1)
\]

Tambahkan \(k + 1\) ke kedua sisi:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k (k + 1) + (k + 1)
\]

Faktorkan \(k + 1\):

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k +) = (k + 1) \left( \frac{1}{2} k + 1 \right)
\]

Sederhanakan:

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1) (k + 2)
\]

Jadi, kita telah membuktikan bahwa jika rumus tersebut benar untuk \(n = k\), maka itu juga benar untuk \(n = k + 1\).

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif \(n\).

Pertanyaan

Deng an ind uksi m atem atika , buktik an hal b eriku t: 1+2+3+... +n=1/2n(n+1)

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih