Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 120. Jumlah deret geometri dengan indeks genap adalah 90 . Suku ke -5 deret geometri tersebut adalah __ Pilih jawabanmu (27)/(80) (80)/(27) (81)/(80) (80)/(81) (80)/(9)

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami konsep deret geometri dan bagaimana cara menghitung jumlah suku-suku dalam deret tersebut.

Deret geometri adalah deret yang setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu rasio tetap \( r \). Jika \( a \) adalah suku pertama dan \( r \) adalah rasio, maka deret geometri tak hingga dapat ditulis sebagai:

\[ a + ar + ar^ ar^3 + \ldots \]

Jumlah \( n \) suku pertama dari deret geometri tak hingga diberikan oleh rumus:

\[ S ={a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Namun, karena ini adalah deret tak hingga, \( n \) mendekati tak hingga, sehingga rumusnya menjadi:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

Diketahui jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 120, sehingga:

\[ \frac{a}{1 = 120 \]

Selanjutnya, diketahui jumlah deret geometri dengan indeks genap adalah 90. Ini berarti kita mengambil suku-suku genap saja: \( a + ar^2 + ar + \ldots \). Jumlah suku-suku ini juga membentuk deret geometri dengan suku pertama \( a \) dan rasio \( r^2 \):

\[ \frac{a}{1 - r^2} = 90 \]

Sekarang kita memiliki dua persamaan:

1. \[ \frac{a}{1 - r} = 120 \]
2. \[ \frac{a}{1 - r^2} = 90 \]

Kita bisa menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai \( a \) dan \( r \). Dari persamaan pertama, kita dapat mengekspresikan \( a \) sebagai:

\[ a = 120(1 - r) \]

Substitusikan \( a \) ke dalam persamaua:

\[ \frac{120(1 - r)}{1 - r^2} = 90 \]

Sederhanakan persamaan tersebut:

\[ \frac{120(1 - r)}{(1)(1 + r)} = 90 \]

\[ \frac{120}{1 + r} = 90 \]

\[ 120 = 90(1 + r) \]

\[ 120 = 90 + 90r \]

\[ 30 = 90r \]

\[ r = \frac{1}{3} \]

Dengan \( r = \frac{1}{3} \), kita substitusikan kembali ke dalam persamaan untuk \( a \):

\[ a = 120(1 - \frac{3}) \]

\[ a = 120 \times \frac{2}{3} \]

\[ a = 80 \]

Sekarang kita tahu bahwa suku pertama \( a \) adalah 80 dan rasio \( r \) adalah \( \frac{1}{3} \). Kita diminta untuk menemukan suku ke-5 dari der. Suku ke-5 dari deret geometri diberikan oleh:

\[ a \cdot r^4 \]

Substitusikan nilai \( a \) dan \( r \):

\[ 80 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \]

\[ 80 \cdot \frac{1}{81} \]

\[ \frac{80}{81} \]

Jadi, suku ke-5 dari deret geometri tersebut adalah \( \frac{80}{81} \).

Jawaban yang benar adalah:

\[ \frac{80}{81} \]