27 .Tentukan turunan ke -n dari fungsi (a) f(x)=(1+x)^-1 (b) g(x)=(1-x)^-1/2 (c) h(x)=co

Question

Pertanyaan

27 .Tentukan turunan ke -n dari fungsi (a) f(x)=(1+x)^-1 (b) g(x)=(1-x)^-1/2 (c) h(x)=co

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Untuk menentukan turunan ke \(-n\) dari fungsi-fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan aturan turunan dan rumus umum untuk turunan ke-n. Mari kita bahas masing-masing fungsi satu per satu.

(a) \( f(x) = (1 + x)^{-1} \)

Turunan pertama dari \( f(x) \) adalah:

\[ f'(x) = -1 \cdot (1 + x)^{-2} \]

Turunan kedua adalah:
\[ f''(x) = 2 \cdot (1 + x)^{-3} \]

Turunan ketiga adalah:
\[ f'''(x) = -6 \cdot (1 + x)^{-4} \]

Dari pola ini, kita dapat menyimpulkan bahwa turunan ke-\(n\) dari \( f(x) \) adalah:
\[ f^{(n)}(x) = (-1)^n \cdot (1 + x)^{-n-1} \cdot n! \]

(b) \( g(x) = (1 - x)^{-1/2} \)

Turunan pertama dari \( g(x) \) adalah:

\[ g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (1 - x)^{-3/2} \]

Turunan kedua adalah:
\[ g''(x) = \frac{3}{4} \cdot (1 - x)^{-5/2} \]

Turunan ketiga adalah:
\[ g'''(x) = -\frac{15}{8} \cdot (1 - x)^{-7/2} \]

Dari pola ini, kita dapat menyimpulkan bahwa turunan ke-\(n\) dari \( g(x) \) adalah:
\[ g^{(n)}(x) = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \cdot (1 - x)^{-n-1/2} \]
di mana \((2n-1)!!\) adalah double factorial.

(c) \( h(x) = \cos(x) \)

Turunan pertama dari \( h(x) \) adalah:

\[ h'(x) = -\sin(x) \]

Turunan kedua adalah:
\[ h''(x) = -\cos(x) \]

Turunan ketiga adalah:
\[ h'''(x) = \sin(x) \]

Turunan keempat adalah:
\[ h^{(4)}(x) = \cos(x) \]

Dari pola ini, kita dapat menyimpulkan bahwa turunan ke-\(n\) dari \( h(x) \) adalah:
\[ h^{(n)}(x) = \begin{cases}
\cos(x) & \text{jika } n \equiv 4 \pmod{4} \\
-\sin(x) & \text{jika } n \equiv 3 \pmod{4} \\
-\cos(x) & \text{jika } n \equiv 2 \pmod{4} \\
\sin(x) & \text{jika } n \equiv 1 \pmod{4}
\end{cases} \]

Dengan demikian, kita telah menentukan turunan ke-\(n\) untuk masing-masing fungsi yang diberikan.

Pertanyaan

27 .Tentukan turunan ke -n dari fungsi (a) f(x)=(1+x)^-1 (b) g(x)=(1-x)^-1/2 (c) h(x)=co

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih