Soal: Selesaikan persam aan diferensial berikut: (d^3y)/(dx^3)+2(d^2y)/(dx^2)-(dy)/(dx)-2y=x^2+e^x Gunakan metode koefisien tak tentu untuk mencari solusi.

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial $\frac {d^{3}y}{dx^{3}}+2\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-\frac {dy}{dx}-2y=x^{2}+e^{x}$ menggunakan metode koefisien tak tentu, kita pertama-tama mencari solusi homogen dari persamaan diferensial homogen yang sesuai, yaitu:

$\frac {d^{3}y}{dx^{3}}+2\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-\frac {dy}{dx}-2y=0$.

Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial homogen ini adalah $r^3 + 2r^2 - r - 2 = 0$. Kita mencari akar-akar persamaan ini dengan mengatur $r^3 + 2r^2 - r - 2 = 0$ dan mencoba mencari nilai-nilai $r$ yang memenuhi persamaan tersebut.

Kita bisa mencoba metode faktorisasi untuk mencari akar-akar persamaan karakteristik. Dengan mencoba beberapa nilai, kita menemukan bahwa $r = -1$ adalah akar dari persamaan karakteristik, sehingga kita dapat membagi persamaan karakteristik dengan $(r + 1)$ untuk mendapatkan persamaan kuadrat baru:

$r^2 + r - 2 = 0.

Persamaan ini dapatorkan menjadi $(r - 1)(r + 2) = 0$, sehingga akar-akar persamaan karakteristik adalah $r = 1$ dan $r = -2$. Oleh karena itu, solusi umum dari persamaan diferensial homogen adalah:

$y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x}.

Di mana $C_1$, $C_2$, dan $C_3$ adalah konstanta yang akan kita tentukan berdasarkan kondisi awal atau batas yang diberikan dalam soal.

Selanjutnya, kita mencari solusi partikular $y_p$ dari persamaan diferensial non-homogen. Karena bentuk kanan persamaan diferensial adalah $x^2 + e^x$, kita mencoba solusi partikular berbentuk:

$y_p = Ax^2 + Be^x + C.

Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari $y_p$ adalah:

$y_p' = 2Ax + Be^x$,
$y_p'' = 2A + Be^x$,
$y_p''' = Be^x$.

Substitusikan $y_p$, $y_p'$, $y_p''$, dan $y_p'''$ ke dalam persamaan diferensial non-homogen, kita dapatkan:

$Be^x + 2A + 2Be^x - 2Ax - 2C = x^2 + e^x$.

Dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang sejenis, kita mendapatkan sistem persamaan:

$B = 1$ (dari suku $e^x$),
$2A + 2B = 0$ (dari suku $x$),
$-2C = x^2$ (dari suku $x^2$).

Dari sistem persamaan ini, kita mendapatkan nilai-nilai $A$, $B$, dan $C$:

$A\frac{1}{2}$,
$B = 1$,
$C = -\frac{1}{2}x^2$.

Jadi, solusi partikularnya$y_p = -\frac{1}{2}x^2 + e^x - \frac{1}{2}x^2$.

Solusi umum dari persamaan diferensial adalah jumlah dari solusi homogen dan solusi partikular:

$y = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 + e^xfrac{1}{2}x^2$.

Jika tidak ada kondisi awal atau batas yang diberikan dalam soal, maka solusi umum ini adalah solusi dari persamaan diferensial yang dicari.