Menentukan Bayangan Titik Setelah Diputar
Dalam geometri, rotasi adalah transformasi yang memutar suatu objek di sekitar titik pusat tertentu. Dalam kasus ini, kita akan menentukan bayangan dari titik \( P(5,-2) \) setelah diputar sebesar \( -3 \frac{\pi}{2} \) radian di sekitar titik pusat \( m(-4,-1) \). Untuk melakukan ini, kita perlu memahami konsep rotasi dalam koordinat kartesius. Rotasi sebesar \( -3 \frac{\pi}{2} \) radian berarti kita memutar objek searah jarum jam sebanyak \( 3 \frac{\pi}{2} \) radian. Dalam hal ini, kita akan mengalikan matriks rotasi dengan koordinat titik \( P \) untuk mendapatkan bayangan yang diinginkan. Matriks rotasi untuk rotasi sebesar \( -3 \frac{\pi}{2} \) radian adalah sebagai berikut: \[ \begin{bmatrix} \cos(-3 \frac{\pi}{2}) & -\sin(-3 \frac{\pi}{2}) \\ \sin(-3 \frac{\pi}{2}) & \cos(-3 \frac{\pi}{2}) \end{bmatrix} \] Dengan menggunakan matriks ini, kita dapat menghitung bayangan dari titik \( P \) setelah diputar. Pertama, kita perlu menghitung determinan dari matriks rotasi, yang diberikan oleh \( \cos^2(-3 \frac{\pi}{2}) + \sin^2(-3 \frac{\pi}{2}) \). Karena \( \cos^2(-3 \frac{\pi}{2}) + \sin^2(-3 \frac{\pi}{2}) = 1 \), determinannya adalah 1. Selanjutnya, kita perlu menghitung invers dari matriks rotasi. Invers dari matriks rotasi diberikan oleh: \[ \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix} \cos(-3 \frac{\pi}{2}) & \sin(-3 \frac{\pi}{2}) \\ -\sin(-3 \frac{\pi}{2}) & \cos(-3 \frac{\pi}{2}) \end{bmatrix} \] Dengan menggunakan invers ini, kita dapat menghitung bayangan dari titik \( P \) setelah diputar. Bayangan dari titik \( P \) setelah diputar sebesar \( -3 \frac{\pi}{2} \) radian di sekitar titik pusat \( m(-4,-1) \) adalah \( P'(-1, 3) \). Dengan demikian, bayangan dari titik \( P(5,-2) \) setelah diputar sebesar \( -3 \frac{\pi}{2} \) radian di sekitar titik pusat \( m(-4,-1) \) adalah \( P'(-1, 3) \).