Membuktikan \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} = 1 \)
Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai limit suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Salah satu contoh limit yang sering muncul adalah \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} \). Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa limit ini adalah 1. Untuk membuktikan limit ini, kita akan menggunakan sifat-sifat trigonometri dan aljabar. Pertama, kita perlu mengingat bahwa \( \sin y \) mendekati y saat y mendekati 0. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan limit \( \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \). Selanjutnya, kita akan menggunakan substitusi \( x = t + 1 \) untuk menyederhanakan fungsi yang diberikan. Dengan substitusi ini, kita dapat mengubah fungsi menjadi \( \frac{\sin^{2}t}{4(t+1)^{2}-8(t+1)+4} \). Kemudian, kita akan menggunakan identitas trigonometri \( \sin^{2}t = \frac{1}{2}(1 - \cos 2t) \) untuk menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{\frac{1}{2}(1 - \cos 2t)}{4(t+1)^{2}-8(t+1)+4} \). Selanjutnya, kita akan menyederhanakan denominatornya. Dengan mengalikan dan membagi dengan 4, kita mendapatkan \( \frac{\frac{1}{2}(1 - \cos 2t)}{(t+1)^{2}-2(t+1)+1} \). Kemudian, kita akan menyederhanakan denominatornya lagi. Dengan mengalikan dan membagi dengan \( (t+1)^{2} \), kita mendapatkan \( \frac{\frac{1}{2}(1 - \cos 2t)}{(t+1)^{2}} \). Selanjutnya, kita akan menggunakan limit \( \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \) yang telah kita sebutkan sebelumnya. Dalam hal ini, kita akan menggunakan substitusi \( y = 2t \). Dengan substitusi ini, kita dapat mengubah fungsi menjadi \( \frac{\frac{1}{2}(1 - \cos y)}{\frac{y}{2}} \). Dengan menggunakan limit \( \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \) lagi, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi \( \frac{1 - \cos y}{y} \). Terakhir, kita akan menggunakan substitusi \( y = x - 1 \) untuk mengubah fungsi kembali menjadi \( \frac{1 - \cos (x - 1)}{x - 1} \). Dengan menggunakan limit \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} = 1 \), kita dapat menyimpulkan bahwa limit ini adalah 1. Dalam artikel ini, kita telah membuktikan bahwa \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin^{2}(x-1)}{4 x^{2}-8 x+4} = 1 \) dengan menggunakan sifat-sifat trigonometri dan aljabar.