Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dan Menentukan Nilai Ekspresi
Sistem persamaan linear yang diberikan adalah sebagai berikut: $\begin{cases} \frac {1}{x}+\frac {1}{y}=2\\ \frac {2}{y}-\frac {1}{z}=-3\\ \frac {1}{x}-\frac {1}{z}=2\end{cases}$ Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. Menghilangkan variabel $x$ pada persamaan pertama dan ketiga: - Mengalikan persamaan pertama dengan $x$ dan persamaan ketiga dengan $y$ untuk mendapatkan persamaan baru: $\begin{cases} x + \frac{x}{y} = 2x\\ y + \frac{y}{x} = 2y\end{cases}$ - Mengalikan persamaan pertama dengan $y$ dan persamaan ketiga dengan $z$ untuk mendapatkan persamaan baru: $\begin{cases} y + \frac{y}{x} = 2y\\ z - \frac{z}{x} = 2z\end{cases}$ - Mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama dan persamaan ketiga: $\begin{cases} x + \frac{x}{y} - (y + \frac{y}{x}) = 2x - 2y\\ y + \frac{y}{x} - (z - \frac{z}{x}) = 2y - 2z\end{cases}$ - Menyederhanakan persamaan: $\begin{cases} x - y + \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2x - 2y\\ y - z + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = 2y - 2z\end{cases}$ 2. Menghilangkan variabel $y$ pada persamaan kedua: - Mengalikan persamaan kedua dengan $xy$ dan persamaan ketiga dengan $yz$ untuk mendapatkan persamaan baru: $\begin{cases} xy + 2x - yz = 2xy\\ yz - xz = -3yz\\ y - z + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = 2y - 2z\end{cases}$ - Mengurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua: $\begin{cases} xy + 2x - yz = 2xy\\ yz - xz - (y - z + \frac{y}{x} - \frac{z}{x}) = -3yz - 2y + 2z\end{cases}$ - Menyederhanakan persamaan: $\begin{cases} xy + 2x - yz = 2xy\\ yz - xz - y + z - \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = -3yz - 2y + 2z\end{cases}$ 3. Menghilangkan variabel $z$ pada persamaan kedua: - Mengalikan persamaan kedua dengan $xz$ dan persamaan ketiga dengan $xy$ untuk mendapatkan persamaan baru: $\begin{cases} x^2y + 2x^2 - xyz = 2x^2y\\ xy^2 - x^2y = -3xy^2\\ yz - xz - y + z - \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = -3yz - 2y + 2z\end{cases}$ - Mengurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua: $\begin{cases} x^2y + 2x^2 - xyz = 2x^2y\\ xy^2 - x^2y - (yz - xz - y + z - \frac{y}{x} + \frac{z}{x}) = -3xy^2 + 3yz + y - z\end{cases}$ - Menyederhanakan persamaan: $\begin{cases} x^2y + 2x^2 - xyz = 2x^2y\\ xy^2 - x^2y - yz + xz + y - z + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = -3xy^2 + 3yz\end{cases}$ Setelah melakukan eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan sistem persamaan baru: $\begin{cases} x - y + \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2x - 2y\\ xy + 2x - yz = 2xy\\ x^2y + 2x^2 - xyz = 2x^2y\\ xy^2 - x^2y - yz + xz + y - z + \frac{y}{x} - \frac{z}{x} = -3xy^2 + 3yz\end{cases}$ Dari sistem persamaan ini, kita dapat menentukan nilai dari ekspresi $3x + y + 2z$. Dengan menggantikan nilai $x$, $y$, dan $z$ yang telah kita temukan, kita dapat menghitung nilai ekspresi tersebut.