Mengapa Nilai $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ}$ adalah $\sqrt{2}-2$?
Dalam matematika, terkadang kita dihadapkan pada masalah yang melibatkan trigonometri. Salah satu masalah yang sering muncul adalah menghitung nilai dari ekspresi trigonometri tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membahas mengapa nilai dari ekspresi $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ}$ adalah $\sqrt{2}-2$. Pertama-tama, mari kita tinjau terlebih dahulu apa itu cosinus dan sinus. Cosinus dan sinus adalah fungsi trigonometri yang menghubungkan sudut dalam segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya. Cosinus dari suatu sudut adalah rasio antara panjang sisi sejajar dengan sudut tersebut dan panjang sisi miring, sedangkan sinus adalah rasio antara panjang sisi tegak lurus dengan sudut tersebut dan panjang sisi miring. Dalam ekspresi $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ}$, kita memiliki dua fungsi trigonometri yang dikalikan, yaitu cosinus dari sudut 112,5 derajat dan sinus dari sudut 22,5 derajat. Sudut-sudut ini merupakan sudut-sudut istimewa dalam trigonometri. Sudut 112,5 derajat dapat ditulis sebagai penjumlahan dari sudut 90 derajat dan sudut 22,5 derajat. Kita tahu bahwa cosinus dari sudut 90 derajat adalah 0, sedangkan sinus dari sudut 90 derajat adalah 1. Oleh karena itu, cosinus dari sudut 112,5 derajat dapat ditulis sebagai $cos(90^{\circ}+22,5^{\circ}) = cos(112,5^{\circ}) = -sin(22,5^{\circ})$. Sudut 22,5 derajat juga merupakan sudut istimewa dalam trigonometri. Kita tahu bahwa cosinus dari sudut 45 derajat adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$, sedangkan sinus dari sudut 45 derajat juga $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Oleh karena itu, sinus dari sudut 22,5 derajat dapat ditulis sebagai $sin(22,5^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Dengan menggabungkan informasi ini, kita dapat menghitung nilai dari ekspresi $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ}$ sebagai berikut: $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ} = 4(-sin(22,5^{\circ}))(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -4(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -4(\frac{1}{2}) = -2$ Jadi, nilai dari ekspresi $4\cos112,5^{\circ}\sin22,5^{\circ}$ adalah $-2$.