Menguji Kemampuan Matematika Anda dengan Limit dan Turunan
Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi beberapa soal matematika yang melibatkan limit dan turunan. Kita akan melihat bagaimana menghitung nilai limit dan turunan dari fungsi-fungsi yang diberikan. Mari kita mulai! 1. Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-5 x-3}{x^{2}-x-6} \) Pertama, kita perlu mencari tahu nilai limit dari fungsi ini saat \( x \) mendekati 2. Dengan menggunakan aturan substitusi langsung, kita dapat menggantikan \( x \) dengan 2 dalam fungsi ini: \( \frac{2(2)^{2}-5(2)-3}{(2)^{2}-(2)-6} \) Sekarang, kita cukup melakukan perhitungan sederhana untuk mendapatkan jawabannya. 2. Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2-3 x+6 x^{2}}{2 x^{2}+7 x-4} \) Dalam soal ini, kita diminta untuk mencari nilai limit dari fungsi ini saat \( x \) mendekati tak hingga. Untuk menyelesaikan ini, kita perlu melihat koefisien tertinggi dari \( x \) dalam fungsi ini, yaitu \( x^{2} \). Kita dapat menggunakan aturan substitusi tak hingga untuk menggantikan \( x \) dengan tak hingga dalam fungsi ini: \( \frac{2-3(\infty)+6(\infty)^{2}}{2(\infty)^{2}+7(\infty)-4} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan membagi setiap suku dengan \( x^{2} \) yang memiliki koefisien tertinggi: \( \frac{6}{2} = 3 \) Jadi, nilai limit dari fungsi ini saat \( x \) mendekati tak hingga adalah 3. 3. Nilai dari \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{2 x^{2}+5 x+6}-\sqrt{2 x^{2}+6 x+5}\right) \) Dalam soal ini, kita diminta untuk mencari nilai limit dari perbedaan akar kuadrat dari dua fungsi saat \( x \) mendekati tak hingga. Untuk menyelesaikan ini, kita perlu menggunakan aturan substitusi tak hingga untuk menggantikan \( x \) dengan tak hingga dalam fungsi ini: \( \sqrt{2(\infty)^{2}+5(\infty)+6}-\sqrt{2(\infty)^{2}+6(\infty)+5} \) Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan membagi setiap suku dengan \( x \) yang memiliki koefisien tertinggi: \( \sqrt{\infty}-\sqrt{\infty} \) Karena akar kuadrat dari tak hingga adalah tak hingga, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai limit dari fungsi ini saat \( x \) mendekati tak hingga adalah 0. 4. Turunan pertama dari \( f(x)=\frac{5}{3} x^{3}+7 x^{2}-5 x+10 \) Dalam soal ini, kita diminta untuk mencari turunan pertama dari fungsi ini. Untuk menyelesaikan ini, kita perlu menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan pertama dari setiap suku dalam fungsi ini: \( f'(x)=\frac{d}{dx}(\frac{5}{3} x^{3})+\frac{d}{dx}(7 x^{2})-\frac{d}{dx}(5 x)+\frac{d}{dx}(10) \) \( f'(x)=5x^{2}+14x-5 \) Jadi, turunan pertama dari fungsi ini adalah \( 5x^{2}+14x-5 \). Dalam artikel ini, kita telah menjelajahi beberapa soal matematika yang melibatkan limit dan turunan. Kita telah melihat bagaimana menghitung nilai limit dan turunan dari fungsi-fungsi yang diberikan. Semoga artikel ini membantu meningkatkan pemahaman Anda tentang topik ini.