Memecahkan Persamaan Trigonometri: Sebuah Panduan Langkah demi Langkah **
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Memecahkan persamaan trigonometri dapat menjadi tugas yang menantang, tetapi dengan pendekatan sistematis, kita dapat menemukan solusi yang tepat. Artikel ini akan membahas langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, dengan fokus pada dua contoh spesifik. Contoh 1: Menyelesaikan $sin4x-cos2x=0$ untuk $0^{\circ }\leqslant x\leqslant 180^{\circ }$ 1. Menggunakan Identitas Trigonometri: Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan dengan menggunakan identitas trigonometri. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan identitas $sin2x = 2sin x cos x$ untuk mengubah $sin4x$ menjadi $2sin2xcos2x$. Persamaan kemudian menjadi: $2sin2xcos2x - cos2x = 0$ 2. Faktorisasi: Selanjutnya, kita dapat memfaktorkan persamaan dengan mengambil $cos2x$ sebagai faktor bersama: $cos2x(2sin2x - 1) = 0$ 3. Mencari Solusi: Persamaan ini sekarang terbagi menjadi dua kemungkinan: a. $cos2x = 0$ b. $sin2x = \frac{1}{2}$ 4. Memecahkan untuk x: Kita perlu menyelesaikan setiap kemungkinan untuk menemukan nilai x yang memenuhi persamaan. a. Untuk $cos2x = 0$, kita tahu bahwa $cos x = 0$ ketika $x = 90^{\circ} + k \times 180^{\circ}$, di mana k adalah bilangan bulat. Karena kita memiliki $cos2x = 0$, maka: $2x = 90^{\circ} + k \times 180^{\circ}$ $x = 45^{\circ} + k \times 90^{\circ}$ Untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 180^{\circ}$, kita mendapatkan solusi $x = 45^{\circ}$ dan $x = 135^{\circ}$. b. Untuk $sin2x = \frac{1}{2}$, kita tahu bahwa $sin x = \frac{1}{2}$ ketika $x = 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ} + k \times 360^{\circ}$. Karena kita memiliki $sin2x = \frac{1}{2}$, maka: $2x = 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ atau $2x = 150^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ $x = 15^{\circ} + k \times 180^{\circ}$ atau $x = 75^{\circ} + k \times 180^{\circ}$ Untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 180^{\circ}$, kita mendapatkan solusi $x = 15^{\circ}$ dan $x = 75^{\circ}$. 5. Solusi Akhir: Dengan demikian, solusi untuk persamaan $sin4x - cos2x = 0$ untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 180^{\circ}$ adalah $x = 15^{\circ}$, $x = 45^{\circ}$, $x = 75^{\circ}$, dan $x = 135^{\circ}$. Contoh 2: Menyelesaikan $cos2x + 7sinx + 3 = 0$ untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$ 1. Menggunakan Identitas Trigonometri: Kita dapat menggunakan identitas $cos2x = 1 - 2sin^2x$ untuk mengubah persamaan menjadi: $(1 - 2sin^2x) + 7sinx + 3 = 0$ 2. Menyederhanakan Persamaan: Menyederhanakan persamaan, kita dapatkan: $-2sin^2x + 7sinx + 4 = 0$ 3. Memecahkan Persamaan Kuadrat: Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat dalam $sinx$. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan rumus kuadrat: $sinx = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ di mana $a = -2$, $b = 7$, dan $c = 4$. $sinx = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(-2)(4)}}{2(-2)}$ $sinx = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{-4}$ $sinx = \frac{-7 \pm 9}{-4}$ Kita mendapatkan dua kemungkinan solusi: a. $sinx = -4$ (tidak mungkin karena $-1 \leqslant sinx \leqslant 1$) b. $sinx = \frac{1}{2}$ 4. Memecahkan untuk x: Kita tahu bahwa $sin x = \frac{1}{2}$ ketika $x = 30^{\circ} + k \times 360^{\circ}$ atau $x = 150^{\circ} + k \times 360^{\circ}$. Untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$, kita mendapatkan solusi $x = 30^{\circ}$ dan $x = 150^{\circ}$. 5. Solusi Akhir: Dengan demikian, solusi untuk persamaan $cos2x + 7sinx + 3 = 0$ untuk $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$ adalah $x = 30^{\circ}$ dan $x = 150^{\circ}$. Kesimpulan:** Memecahkan persamaan trigonometri melibatkan penggunaan identitas trigonometri, faktorisasi, dan menyelesaikan persamaan kuadrat. Dengan mengikuti langkah-langkah yang sistematis, kita dapat menemukan solusi yang tepat untuk persamaan trigonometri. Penting untuk diingat bahwa solusi mungkin dibatasi oleh interval tertentu, seperti yang ditunjukkan dalam contoh-contoh di atas.