Membuktikan bahwa \( \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1 \)
Dalam matematika, terkadang kita dihadapkan pada pernyataan yang terlihat rumit dan sulit dipahami. Salah satu contohnya adalah pernyataan di atas yang melibatkan akar kuadrat dan pecahan. Namun, dengan menggunakan pengetahuan dan keterampilan yang tepat, kita dapat membuktikan bahwa pernyataan ini benar. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita perlu memecahkan setiap bagian persamaan secara terpisah dan kemudian menggabungkannya kembali untuk membentuk persamaan yang sama dengan persamaan awal. Mari kita mulai dengan memecahkan bagian pertama dari persamaan: \( \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}} \) Dalam pecahan ini, kita memiliki akar kuadrat dan pecahan di dalamnya. Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan \( x = \frac{\sqrt{3}}{2} \), maka pecahan ini dapat ditulis ulang sebagai: \( \frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}} \) Selanjutnya, kita dapat menghilangkan akar kuadrat dengan mengalikan pecahan atas dan bawah dengan konjugat dari akar kuadrat tersebut. Dalam hal ini, konjugat dari \( \sqrt{1+x} \) adalah \( \sqrt{1+x} \). Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: \( \frac{(1+x)(1-\sqrt{1+x})}{(1+\sqrt{1+x})(1-\sqrt{1+x})} \) Sekarang, kita dapat menyederhanakan pecahan ini dengan mengalikan dan membagi. Setelah disederhanakan, pecahan ini menjadi: \( \frac{1-x}{1-(1+x)} \) Kita dapat melanjutkan proses yang sama untuk memecahkan bagian kedua dari persamaan: \( \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}\) Dalam pecahan ini, kita juga memiliki akar kuadrat dan pecahan di dalamnya. Dengan menggunakan metode substitusi yang sama seperti sebelumnya, kita dapat menulis ulang pecahan ini sebagai: \( \frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}} \) Sekarang, kita dapat menggabungkan kedua pecahan ini menjadi satu persamaan: \( \frac{1-x}{1-(1+x)} + \frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}} \) Dalam persamaan ini, kita dapat melihat bahwa kedua pecahan memiliki denominasi yang sama. Oleh karena itu, kita dapat menggabungkannya menjadi satu pecahan dengan menjumlahkan numerasi mereka: \( \frac{(1-x) + (1-x)}{1-(1+x)} \) Setelah menyederhanakan numerasi dan denominasi, kita mendapatkan: \( \frac{2(1-x)}{-2x} \) Kita dapat membagi kedua numerasi dan denominasi dengan 2 untuk menyederhanakan pecahan ini menjadi: \( \frac{1-x}{-x} \) Terakhir, kita dapat menyederhanakan pecahan ini dengan mengalikan numerasi dan denominasi dengan -1: \( \frac{x-1}{x} \) Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1 \). Dalam matematika, membuktikan pernyataan seperti ini adalah penting untuk memahami konsep dan memperluas pengetahuan kita. Meskipun pernyataan ini mungkin terlihat rumit pada awalnya, dengan menggunakan metode yang tepat, kita dapat mengungkap kebenarannya.