Pentingnya Pemahaman tentang Grup Permutasi
Grup permutasi adalah konsep yang sangat penting dalam matematika. Dalam bagian ini, kita akan membahas fakta dasar tentang grup permutasi terbatas dan mengungkapkan pentingnya konsep ini dalam dua bagian berikutnya. Misalkan \( A \) adalah himpunan terbatas dengan \( n \) elemen, misalnya \( A = \{a_1, a_2, \ldots, a_n\} \). Setiap permutasi \( f \) pada \( A \) ditentukan oleh pilihan nilai-nilai untuk \( n \) elemen tersebut, yaitu \( f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_n) \). Dalam menentukan nilai-nilai ini, terdapat \( n \) pilihan untuk \( f(a_1) \), kemudian \( n-1 \) pilihan untuk \( f(a_2) \), dan seterusnya. Dengan demikian, terdapat \( n! \) cara berbeda di mana \( f \) dapat didefinisikan, dan \( S(A) \) memiliki \( n! \) elemen. Setiap elemen \( f \) dalam \( S(A) \) dapat direpresentasikan oleh matriks (array berbentuk persegi panjang) di mana gambaran dari \( a_2 \) ditulis di bawah \( a_1 \), dan seterusnya. Setiap permutasi \( f \) pada \( A \) dapat dikaitkan dengan permutasi \( f \) pada \( B = [1, 2, \ldots, n] \) dengan menggantikan \( a_k \) dengan \( k \) untuk \( k = 1, 2, \ldots, n \). Dengan demikian, kita dapat merepresentasikan \( f \) sebagai berikut: \[ f = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ f(1) & f(2) & \cdots & f(n) \end{array}\right] \] Pada bagian ini, kita telah melihat bagaimana permutasi pada himpunan terbatas \( A \) dapat direpresentasikan oleh matriks dan bagaimana setiap permutasi \( f \) pada \( A \) dapat dikaitkan dengan permutasi \( f \) pada himpunan \( B \). Pemahaman tentang grup permutasi sangat penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang. Dalam dua bagian berikutnya, kita akan melihat lebih dalam tentang pentingnya grup permutasi dan bagaimana konsep ini digunakan dalam konteks yang lebih luas.