Komponen Vektor dan Ortogonalitas dalam Ruang Tiga Dimensi
Dalam matematika, vektor adalah objek geometri yang memiliki magnitude (panjang) dan arah. Dalam ruang tiga dimensi, vektor dapat direpresentasikan sebagai tiga komponen dalam bentuk (x, y, z). Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mencari komponen vektor dari vektor u sepanjang vektor a, serta komponen vektor yang ortogonal terhadap vektor a. Pertama, mari kita lihat vektor u dan vektor a yang diberikan. Vektor u dinyatakan sebagai u = (2, -1, 3) dan vektor a dinyatakan sebagai a = (4, -1, 2). Untuk mencari komponen vektor dari vektor u sepanjang vektor a, kita dapat menggunakan rumus proyeksi vektor. Proyeksi vektor dari vektor u sepanjang vektor a dapat dinyatakan sebagai: \( \text{proj}_a u = \frac{u \cdot a}{|a|^2} \cdot a \) Di mana \( u \cdot a \) adalah hasil perkalian dot (dot product) antara vektor u dan vektor a, dan \( |a|^2 \) adalah kuadrat dari magnitude (panjang) vektor a. Dalam kasus ini, kita dapat menghitung \( u \cdot a \) sebagai berikut: \( u \cdot a = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot -1) + (3 \cdot 2) = 8 + 1 + 6 = 15 \) Selanjutnya, kita perlu menghitung \( |a|^2 \) sebagai berikut: \( |a|^2 = (4^2) + (-1^2) + (2^2) = 16 + 1 + 4 = 21 \) Dengan menggunakan nilai-nilai yang telah kita hitung, kita dapat mencari komponen vektor dari vektor u sepanjang vektor a: \( \text{proj}_a u = \frac{15}{21} \cdot (4, -1, 2) \) \( \text{proj}_a u = \left(\frac{60}{21}, -\frac{15}{21}, \frac{30}{21}\right) \) Sekarang, mari kita cari komponen vektor yang ortogonal terhadap vektor a. Komponen vektor yang ortogonal terhadap vektor a dapat dinyatakan sebagai: \( \text{ort}_a u = u - \text{proj}_a u \) Dalam kasus ini, kita dapat menghitung \( \text{ort}_a u \) sebagai berikut: \( \text{ort}_a u = (2, -1, 3) - \left(\frac{60}{21}, -\frac{15}{21}, \frac{30}{21}\right) \) \( \text{ort}_a u = \left(\frac{42}{21} - \frac{60}{21}, -\frac{21}{21} + \frac{15}{21}, \frac{63}{21} - \frac{30}{21}\right) \) \( \text{ort}_a u = \left(\frac{-18}{21}, \frac{-6}{21}, \frac{33}{21}\right) \) Dengan demikian, komponen vektor dari vektor u sepanjang vektor a adalah \( \left(\frac{60}{21}, -\frac{15}{21}, \frac{30}{21}\right) \), sedangkan komponen vektor yang ortogonal terhadap vektor a adalah \( \left(\frac{-18}{21}, \frac{-6}{21}, \frac{33}{21}\right) \). Dalam matematika, pemahaman tentang komponen vektor dan ortogonalitas sangat penting dalam berbagai aplikasi, seperti fisika, grafika komputer, dan ilmu komputer. Dengan memahami konsep ini, kita dapat memecahkan berbagai masalah yang melibatkan vektor dalam ruang tiga dimensi. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana mencari komponen vektor dari vektor u sepanjang vektor a, serta komponen vektor yang ortogonal terhadap vektor a. Semoga artikel ini bermanfaat dan dapat meningkatkan pemahaman kita tentang vektor dalam ruang tiga dimensi.