Menyelesaikan Persamaan Vektor dengan Metode Persamaan Linier
Dalam matematika, persamaan vektor adalah persamaan yang melibatkan vektor-vektor. Dalam tugas ini, kita akan mencari nilai \(n\) dalam persamaan vektor \( \vec{a} = \vec{b} \), dengan diketahui \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix} \) dan \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2k + a \end{pmatrix} \). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode persamaan linier. Metode ini melibatkan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Dalam hal ini, kita akan mengubah persamaan vektor menjadi persamaan matriks. Langkah pertama adalah mengubah persamaan vektor menjadi persamaan matriks. Dalam hal ini, kita dapat menulis persamaan vektor \( \vec{a} = \vec{b} \) menjadi persamaan matriks \( A\vec{x} = \vec{b} \), di mana \( A \) adalah matriks koefisien yang terdiri dari vektor-vektor \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \), \( \vec{x} \) adalah vektor variabel, dan \( \vec{b} \) adalah vektor hasil. Dalam kasus ini, matriks koefisien \( A \) adalah: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Vektor variabel \( \vec{x} \) adalah: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \] Vektor hasil \( \vec{b} \) adalah: \[ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2k + a \end{pmatrix} \] Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas, kita dapat menulis persamaan matriks \( A\vec{x} = \vec{b} \) menjadi: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2k + a \end{pmatrix} \] Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan matriks ini dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau metode lainnya. Setelah kita menyelesaikan persamaan ini, kita akan mendapatkan nilai \( n \) yang memenuhi persamaan vektor \( \vec{a} = \vec{b} \). Dalam kasus ini, kita akan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan matriks. Setelah melakukan operasi-operasi baris elementer, kita akan mendapatkan bentuk matriks eselon tereduksi sebagai berikut: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2k + a \end{pmatrix} \] Dari sini, kita dapat melihat bahwa persamaan ini tidak memiliki variabel \( n \) yang terikat dengan variabel \( k \). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai \( n \) dapat memiliki nilai apa pun. Dalam kasus ini, kita dapat menulis \( n = k^7 + 3 \), di mana \( k \) adalah bilangan real apa pun. Dengan demikian, kita telah menyelesaikan persamaan vektor \( \vec{a} = \vec{b} \) dan menemukan bahwa nilai \( n \) dapat ditulis sebagai \( n = k^7 + 3 \), di mana \( k \) adalah bilangan real apa pun.