Menyelesaikan Persamaan Matematika: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=3\sum _{k=1}^{9}k^{2}+a\sum _{k=1}^{9}k+b$
Dalam masalah diminta untuk menyelesaikan persamaan matematika yang melibatkan jumlah dan ekspresi. Persamaan tersebut adalah: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=3\sum _{k=1}^{9}k^{2}+a\sum _{k=1}^{9}k+b$. Di mana kita harus mencari nilai a dan b. Langkah pertama adalah mengidentifikasi pola dalam ekspresi. Dengan memeriksa setiap istilah, kita dapat melihat bahwa istilah-istilah tersebut adalah polinomial dari derajat dua. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus untuk jumlah suku-suku polinomial dari derajat dua. Rumus untuk jumlah suku-suku polinomial dari derajat dua adalah: $\sum _{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menyelesaikan persamaan. Kita dapat menulis ulang persamaan sebagai berikut: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=3\left(\frac{9(9+1)(2*9+1)}{6}\right)+a\left(\frac{9(9+1)}{2}\right)+b$. Dengan menyederhanakan ekspresi, kita dapatkan: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=3\left(\frac{81*10}{6}\right)+a\left(\frac{81}{2}\right)+b$. Sekarang kita dapat menyelesaikan persamaan dengan mencari nilai a dan b. Dengan membandingkan kedua sisi persamaan, kita dapatkan: $3\left(\frac{810}{6}\right)+a\left(\frac{81}{2}\right)+b=3\left(\frac{810}{6}\right)+a\left(\frac{81}{2}\right)+b$. Dengan menyederhanakan ekspresi, kita dapatkan: $135+a\left(\frac{81}{2}\right)+b=135+a\left(\frac{81}{2}\right)+b$. Karena kedua sisi persamaan sama, kita dapat menyimpulkan bahwa a dan b adalah sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=3\left(\frac{810}{6}\right)$. Dengan menyederhanakan ekspresi, kita dapatkan: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=135$. Oleh karena itu, nilai a dan b adalah nol, dan persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: $\sum _{k=4}^{12}(3k^{2}-4k+2)=135$. Dalam kesimpulannya, kita telah menyelesaikan persamaan matematika yang diberikan dan menemukan bahwa nilai a dan b adalah nol. Kita juga telah menemukan bahwa hasil dari ekspresi adalah 135.