Menganalisis Nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x}$
Dalam artikel ini, kita akan menganalisis nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x}$. Pertanyaan ini sering muncul dalam matematika dan membutuhkan pemahaman yang baik tentang fungsi sinus. Mari kita jelajahi lebih lanjut. Pertama, kita perlu memahami apa itu limit. Limit adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabel mendekati suatu titik tertentu. Dalam kasus ini, kita ingin mencari nilai limit saat $x$ mendekati 0. Untuk memecahkan masalah ini, kita akan menggunakan aturan limit dasar. Aturan limit dasar menyatakan bahwa jika kita memiliki dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ dan limit dari $f(x)$ dan $g(x)$ saat $x$ mendekati suatu titik adalah $L$ dan $M$ secara berturut-turut, maka limit dari $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$, $f(x) \cdot g(x)$, dan $\frac{f(x)}{g(x)}$ saat $x$ mendekati titik tersebut adalah $L + M$, $L - M$, $L \cdot M$, dan $\frac{L}{M}$. Dalam kasus ini, kita memiliki fungsi $f(x) = \sin(5x)$ dan $g(x) = \sin(3x)$. Kita ingin mencari nilai limit dari $\frac{f(x)}{g(x)}$ saat $x$ mendekati 0. Mari kita terapkan aturan limit dasar. Limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati 0 adalah $\sin(5 \cdot 0) = \sin(0) = 0$. Limit dari $g(x)$ saat $x$ mendekati 0 adalah $\sin(3 \cdot 0) = \sin(0) = 0$. Jadi, kita memiliki $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x} = \frac{0}{0}$. Namun, $\frac{0}{0}$ adalah bentuk yang tidak terdefinisi dalam matematika. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan teknik lain untuk menyelesaikan masalah ini. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika kita memiliki bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$ saat kita mencari limit, kita dapat mengambil turunan dari fungsi atas dan fungsi bawah secara terpisah dan kemudian mengambil limit dari turunan tersebut. Mari kita terapkan aturan L'Hopital pada masalah ini. Turunan dari $f(x) = \sin(5x)$ adalah $f'(x) = 5\cos(5x)$ dan turunan dari $g(x) = \sin(3x)$ adalah $g'(x) = 3\cos(3x)$. Jadi, kita memiliki $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x} = \lim _{x\rightarrow 0}\frac {5\cos(5x)}{3\cos(3x)}$. Sekarang, kita dapat mengambil limit dari turunan tersebut. Limit dari $f'(x)$ saat $x$ mendekati 0 adalah $5\cos(5 \cdot 0) = 5\cos(0) = 5$. Limit dari $g'(x)$ saat $x$ mendekati 0 adalah $3\cos(3 \cdot 0) = 3\cos(0) = 3$. Jadi, kita memiliki $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x} = \frac{5}{3}$. Dalam kesimpulan, nilai dari $\lim _{x\rightarrow 0}\frac {sin5x}{sin3x}$ adalah $\frac{5}{3}$.