Mencari Nilai dari $tan2x$ Berdasarkan Persamaan $sinxcosx=a$

4
(246 votes)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada situasi di mana kita perlu mencari nilai dari fungsi trigonometri yang terkait dengan persamaan trigonometri tertentu. Salah satu persamaan yang sering muncul adalah $sinxcosx=a$, di mana $a$ adalah suatu konstanta dan $x$ adalah sudut dalam rentang $0\leqslant x\leqslant \frac {\pi }{4}$. Dalam kasus ini, kita diminta untuk mencari nilai dari $tan2x$ berdasarkan persamaan $sinxcosx=a$. Untuk mencapai tujuan ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang relevan dan memanipulasi persamaan yang diberikan. Pertama, mari kita gunakan identitas trigonometri $tan2x=\frac {2tanx}{1-tan^{2}x}$. Dengan demikian, kita perlu mencari nilai dari $tanx$ terlebih dahulu. Dalam persamaan $sinxcosx=a$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $sin2x=2sinxcosx$ untuk menggantikan $sinxcosx$ dalam persamaan tersebut. Dengan demikian, kita mendapatkan $sin2x=2a$. Selanjutnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $tanx=\frac {sinx}{cosx}$ untuk menggantikan $sinx$ dan $cosx$ dalam persamaan tersebut. Dengan demikian, kita mendapatkan $tan2x=\frac {2tanx}{1-tan^{2}x}=\frac {2\frac {sinx}{cosx}}{1-(\frac {sinx}{cosx})^{2}}$. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan persamaan $sin2x=2a$ untuk menggantikan $sinx$ dalam persamaan $tan2x$. Dengan demikian, kita mendapatkan $tan2x=\frac {2\frac {2a}{2cosx}}{1-(\frac {2a}{2cosx})^{2}}$. Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan membagi kedua sisi dengan 2 dan menggantikan $cosx$ dengan $\sqrt {1-sin^{2}x}$ menggunakan identitas trigonometri $sin^{2}x+cos^{2}x=1$. Dengan demikian, kita mendapatkan $tan2x=\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}$. Jadi, berdasarkan persamaan $sinxcosx=a$ untuk $0\leqslant x\leqslant \frac {\pi }{4}$, nilai dari $tan2x$ adalah $\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}$.