Bentuk rasional dari \( \frac{2 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \)

4
(363 votes)

Dalam matematika, bentuk rasional adalah bentuk pecahan di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial dengan koefisien bilangan bulat. Dalam artikel ini, kita akan mencari bentuk rasional dari ekspresi \( \frac{2 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \). Untuk mencari bentuk rasional dari ekspresi ini, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan konjugat dari penyebut, yaitu \( 3-\sqrt{5} \). Dengan mengalikan penyebut dan pembilang dengan konjugat, kita dapat menghilangkan akar kuadrat di penyebut. \[ \frac{2 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \times \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5} \cdot (3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5}) \cdot (3-\sqrt{5})} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini dengan mengalikan dan menggabungkan suku-suku yang serupa. \[ \frac{2 \sqrt{5} \cdot (3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5}) \cdot (3-\sqrt{5})} = \frac{6 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5^2}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} \] \[ = \frac{6 \sqrt{5} - 2 \sqrt{25}}{9 - 5} \] \[ = \frac{6 \sqrt{5} - 2 \cdot 5}{4} \] \[ = \frac{6 \sqrt{5} - 10}{4} \] \[ = \frac{3 \sqrt{5} - 5}{2} \] Jadi, bentuk rasional dari \( \frac{2 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} \) adalah \( \frac{3 \sqrt{5} - 5}{2} \). Dengan demikian, jawaban yang benar untuk kebutuhan artikel adalah a. \( \frac{3 \sqrt{5} - 5}{2} \).