Menentukan Nilai-nilai \( x \) yang Memenuhi Persamaan Trigonometri

(178 votes)

Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan trigonometri \( -\operatorname{cotan} x+3 \tan x=2 \) untuk \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi \). Persamaan ini melibatkan fungsi trigonometri seperti cotan dan tan, dan kita akan menggunakan pengetahuan trigonometri untuk menyelesaikannya. Pertama, mari kita perhatikan persamaan \( -\operatorname{cotan} x+3 \tan x=2 \). Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah fungsi cotan menjadi fungsi tan: \( -\frac{\cos x}{\sin x} + 3 \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \) Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan \(\sin x \cos x\) untuk menghilangkan denominasi: \( -\cos^2 x + 3 \sin^2 x = 2 \sin x \cos x \) Kemudian, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) untuk menggantikan \(\cos^2 x\) dalam persamaan: \( -1 + 4 \sin^2 x = 2 \sin x \cos x \) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi bentuk kuadrat: \( 4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 1 = 0 \) Kita dapat menggunakan faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan ini: \( (2 \sin x - 1)(2 \sin x + 1) = 0 \) Dari sini, kita dapat mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan dengan memecahkan masing-masing faktor: 1. \( 2 \sin x - 1 = 0 \) \( \sin x = \frac{1}{2} \) Dalam rentang \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi \), nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini adalah \( \frac{\pi}{6} \) dan \( \frac{5\pi}{6} \). 2. \( 2 \sin x + 1 = 0 \) \( \sin x = -\frac{1}{2} \) Dalam rentang \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi \), nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini adalah \( \frac{7\pi}{6} \) dan \( \frac{11\pi}{6} \). Jadi, nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan trigonometri \( -\operatorname{cotan} x+3 \tan x=2 \) untuk \( 0 \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi \) adalah \( \frac{\pi}{6} \), \( \frac{5\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{6} \), dan \( \frac{11\pi}{6} \).