Menyelesaikan Masalah Fungsi Komposisi dan Daerah Asal Fungsi
Dalam artikel ini, kita akan membahas dan menyelesaikan dua masalah yang berkaitan dengan fungsi komposisi dan daerah asal fungsi. Kita akan menggunakan konsep-konsep dasar aljabar untuk menyelesaikan masalah ini dengan cara yang sistematis dan logis. 1. Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}-5x-8$. Jika $f(p)=6$, nilai $p$ adalah... Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggantikan $x$ dengan $p$ dalam fungsi $f(x)$ dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: $f(p)=p^{2}-5p-8=6$ Dengan menyusun ulang persamaan ini, kita mendapatkan: $p^{2}-5p-14=0$ Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat atau metode faktorisasi. Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita mendapatkan: $p=\frac{5\pm\sqrt{25+56}}{2}=\frac{5\pm9}{2}$ Dengan demikian, kita mendapatkan dua solusi: $p_1=\frac{14}{2}=7$ dan $p_2=\frac{4}{2}=2$ Jadi, nilai $p$ adalah 2 atau 7. 2. Diketahui $f(x)=x+2$ dan $g(x)=\sqrt{x^{2}+2x-8}$. Daerah asal fungsi $(\frac{f}{g})(x)$ adalah... Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menentukan daerah asal fungsi $(\frac{f}{g})(x)$. Daerah asal fungsi ini adalah himpunan semua nilai $x$ di mana fungsi $g(x)$ tidak nol. Dengan demikian, kita perlu menyelesaikan persamaan $g(x)=0$ dan menentukan daerah asal fungsi ini. Dengan menggantikan $g(x)$ dengan $\sqrt{x^{2}+2x-8}$, kita mendapatkan: $\sqrt{x^{2}+2x-8}=0$ Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini, kita mendapatkan: $x^{2}+2x-8=0$ Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat atau metode faktorisasi. Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita mendapatkan: $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm6}{2}$ Dengan demikian, kita mendapatkan dua solusi: $x_1=\frac{4}{2}=2$ dan $x_2=\frac{-8}{2}=-4$ Karena kita mencari daerah asal fungsi $(\frac{f}{g})(x)$, kita perlu menentukan nilai $x$ di mana fungsi $g(x)$ tidak nol. Dengan demikian, daerah asal fungsi ini adalah himpunan semua nilai $x$ di luar $x=-4$ dan $x=2$. Jadi, jawabannya adalah $\{x\vert x\lt -4$ atau $x\gt 2\}$. 3. Diketahui $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=x^{2}-2x-5$. Fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ adalah... Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggantikan $x$ dalam fungsi $g(x)$ dengan $f(x)$. Dengan melakukan ini, kita mendapatkan: $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=(3x-1)^{2}-2(3x-1)-5$ Dengan menyusun ulang persamaan ini, kita mendapatkan: $(g\circ f)(x)=9x^{2}-6x-1-6x+2-5=9x^{2}-12x-4$ Jadi, fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ adalah $9x^{2}-12x-4$. 4. Jika $f(x)=\frac{6x+5}{2x-3}$, fungsi inversnya adalah... Untuk men