Menyelesaikan Soal-soal Barisan Bilangan Aritmetika dan Geometri
Dalam artikel ini, kita akan membahas dan menyelesaikan beberapa soal tentang barisan bilangan aritmetika dan geometri. Kita akan mencari nilai-nilai tertentu dalam barisan tersebut dan menghitung jumlah suku-suku tertentu. Mari kita mulai! Soal 1: Tentukan \( U_{25} \) dari barisan bilangan aritmetika \( 8,-2,-12,-22, \ldots \) Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari pola dalam barisan bilangan ini. Dalam barisan ini, setiap suku dikurangi 10 dari suku sebelumnya. Jadi, kita dapat menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika: \[ U_n = U_1 + (n-1)d \] Di sini, \( U_n \) adalah suku ke-n, \( U_1 \) adalah suku pertama, dan \( d \) adalah beda antara suku-suku. Dalam kasus ini, \( U_1 = 8 \) dan \( d = -10 \). Jadi, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus: \[ U_{25} = 8 + (25-1)(-10) \] \[ U_{25} = 8 + 24(-10) \] \[ U_{25} = 8 - 240 \] \[ U_{25} = -232 \] Jadi, \( U_{25} \) dari barisan bilangan aritmetika ini adalah -232. Soal 2: Tentukan \( S_{20} \) dari soal nomor 1! Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari jumlah 20 suku pertama dalam barisan bilangan aritmetika yang telah kita temukan sebelumnya. Kita dapat menggunakan rumus umum untuk jumlah suku-suku pertama dalam barisan aritmetika: \[ S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n) \] Di sini, \( S_n \) adalah jumlah suku-suku pertama ke-n, \( n \) adalah jumlah suku yang ingin kita hitung, \( U_1 \) adalah suku pertama, dan \( U_n \) adalah suku ke-n. Dalam kasus ini, \( n = 20 \), \( U_1 = 8 \), dan \( U_n = -232 \). Jadi, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus: \[ S_{20} = \frac{20}{2}(8 + (-232)) \] \[ S_{20} = 10(-224) \] \[ S_{20} = -2240 \] Jadi, \( S_{20} \) dari barisan bilangan aritmetika ini adalah -2240. Soal 3: Tentukan \( U_{11} \) dari barisan bilangan aritmetika \( 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32}, \ldots \) Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari pola dalam barisan bilangan ini. Dalam barisan ini, setiap suku diperoleh dengan membagi suku sebelumnya dengan 4. Jadi, kita dapat menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika: \[ U_n = U_1 \times r^{(n-1)} \] Di sini, \( U_n \) adalah suku ke-n, \( U_1 \) adalah suku pertama, dan \( r \) adalah rasio antara suku-suku. Dalam kasus ini, \( U_1 = 2 \) dan \( r = \frac{1}{4} \). Jadi, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus: \[ U_{11} = 2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{(11-1)} \] \[ U_{11} = 2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{10} \] \[ U_{11} = 2 \times \frac{1}{1048576} \] \[ U_{11} = \frac{2}{1048576} \] \[ U_{11} = \frac{1}{524288} \] Jadi, \( U_{11} \) dari barisan bilangan aritmet