Mencari Nilai Integral dari Fungsi
Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu. Integral dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva, menemukan nilai rata-rata, dan banyak lagi. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai integral dari fungsi yang diberikan. Fungsi yang diberikan adalah $f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2}$. Kita akan mencari nilai integral dari fungsi ini dalam interval $[1, 2]$. Untuk mencari nilai integral, kita dapat menggunakan rumus integral tentu. Rumus integral tentu untuk fungsi $f(x)$ dalam interval $[a, b]$ adalah sebagai berikut: $$\int _{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$ di mana $F(x)$ adalah fungsi antiturunan dari $f(x)$. Dalam kasus ini, kita perlu mencari fungsi antiturunan dari $f(x)$ terlebih dahulu. Untuk mencari fungsi antiturunan dari $f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2}$, kita dapat menggunakan aturan turunan dan aturan integral. Aturan turunan yang kita gunakan adalah sebagai berikut: 1. Turunan dari $x^n$ adalah $nx^{n-1}$. 2. Turunan dari $\frac{1}{x^n}$ adalah $-\frac{n}{x^{n+1}}$. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat menghitung turunan dari $f(x)$: $$f'(x) = 2x - \left(-\frac{2}{x^3}\right) = 2x + \frac{2}{x^3}$$ Selanjutnya, kita perlu mencari fungsi antiturunan dari $f'(x)$. Aturan integral yang kita gunakan adalah sebagai berikut: 1. Integral dari $x^n$ adalah $\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$. 2. Integral dari $\frac{1}{x^n}$ adalah $-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$. Dengan menggunakan aturan integral, kita dapat menghitung fungsi antiturunan dari $f'(x)$: $$F(x) = \int (2x + \frac{2}{x^3}) dx = x^2 + \frac{2}{-2x^2} + C = x^2 - \frac{1}{x^2} + C$$ Sekarang kita memiliki fungsi antiturunan $F(x)$ dari $f(x)$. Kita dapat menggunakan rumus integral tentu untuk mencari nilai integral dari fungsi $f(x)$ dalam interval $[1, 2]$: $$\int _{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{x^2}) dx = F(2) - F(1)$$ $$= (2^2 - \frac{1}{2^2}) - (1^2 - \frac{1}{1^2})$$ $$= (4 - \frac{1}{4}) - (1 - 1)$$ $$= \frac{15}{4}$$ Jadi, nilai integral dari fungsi $f(x) = x^2 - \frac{1}{x^2}$ dalam interval $[1, 2]$ adalah $\frac{15}{4}$.