Menganalisis Batasan \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \)
Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah perhitungan batasan. Salah satu jenis batasan yang sering muncul adalah batasan tak hingga atau batasan yang melibatkan akar kuadrat. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batasan \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilainya. Sebelum kita mulai, mari kita ingat kembali definisi batasan. Batasan \( \lim _{x \rightarrow a} f(x) \) adalah nilai yang diakibatkan oleh fungsi \( f(x) \) saat \( x \) mendekati nilai \( a \). Dalam kasus ini, kita ingin menghitung batasan \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \). Untuk menghitung batasan ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik, salah satunya adalah menggunakan substitusi. Mari kita substitusikan \( x = 2 \) ke dalam fungsi \( \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \). Dalam hal ini, kita mendapatkan \( \frac{2-2}{1-\sqrt{2-1}} \). Namun, saat kita mencoba untuk menghitung nilai ini, kita akan menemui masalah. Karena kita memiliki akar kuadrat di penyebut, kita harus memastikan bahwa nilai \( x \) mendekati 2 dari arah yang memungkinkan. Dalam hal ini, kita harus memastikan bahwa \( x \) mendekati 2 dari arah yang lebih besar dari 2. Jika kita mengamati fungsi \( \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \), kita dapat melihat bahwa saat \( x \) mendekati 2 dari arah yang lebih besar dari 2, akar kuadrat di penyebut akan mendekati 1. Dalam hal ini, kita dapat menulis batasan ini sebagai \( \lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \). Dengan menggunakan substitusi lagi, kita dapat menghitung batasan ini sebagai \( \lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{2-2}{1-1} = 0 \). Jadi, batasan \( \lim _{x \rightarrow 2^+} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \) adalah 0. Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batasan \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{1-\sqrt{x-1}} \) dan menentukan bahwa batasan ini adalah 0 saat \( x \) mendekati 2 dari arah yang lebih besar dari 2. Batasan ini memberikan wawasan tentang bagaimana fungsi ini berperilaku saat mendekati titik tertentu dan dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika. Referensi: - Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.