Bukti Induksi Matematika untuk Rumus $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$
Dalam matematika, metode induksi adalah alat yang kuat untuk membuktikan pernyataan yang melibatkan bilangan bulat. Salah satu contoh yang umum digunakan adalah bukti induksi matematika untuk rumus $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ untuk setiap $n\in N$. Bukti ini melibatkan tiga langkah utama: langkah dasar, langkah induksi, dan langkah penutup. Pertama, kita harus membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk $n=1$. Kemudian, kita berasumsi bahwa rumus tersebut benar untuk suatu $k$ yang merupakan bilangan bulat positif. Terakhir, kita menggunakan asumsi tersebut untuk membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk $k+1$. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif. Langkah dasar adalah langkah pertama dalam bukti induksi matematika. Kita harus membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk $n=1$. Jika kita mengganti $n$ dengan 1 dalam rumus tersebut, kita akan mendapatkan $1^{2}=\frac {(-1)^{1-1}1(1+1)}{2}$. Dengan melakukan perhitungan sederhana, kita dapat melihat bahwa kedua sisi persamaan tersebut sama. Oleh karena itu, rumus tersebut benar untuk $n=1$. Langkah induksi adalah langkah kedua dalam bukti induksi matematika. Kita berasumsi bahwa rumus tersebut benar untuk suatu $k$ yang merupakan bilangan bulat positif. Dalam langkah ini, kita harus membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk $k+1$. Jika kita mengganti $n$ dengan $k+1$ dalam rumus tersebut, kita akan mendapatkan $(-1)^{k}k^{2}+(k+1)^{2}=\frac {(-1)^{k}k(k+1)}{2}+\frac {(-1)^{k}2(k+1)}{2}$. Dengan melakukan perhitungan sederhana, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut menjadi $\frac {(-1)^{k}(k+1)(k+2)}{2}$. Oleh karena itu, rumus tersebut juga benar untuk $k+1$. Langkah penutup adalah langkah terakhir dalam bukti induksi matematika. Setelah membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk $n=1$ dan bahwa rumus tersebut juga benar untuk $k+1$ jika rumus tersebut benar untuk $k$, kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif. Dalam kesimpulan, bukti induksi matematika telah digunakan untuk membuktikan rumus $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\cdots -\cdots + (-1)^{n-1}n^{2}=\frac {(-1)^{n-1}n(n+1)}{2}$ untuk setiap $n\in N$. Langkah dasar, langkah induksi, dan langkah penutup digunakan untuk membuktikan rumus tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif.