Mencari Integral dari Pecahan Rasional dengan Akar Kuadrat di Penyebut
Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan pada masalah mencari integral dari fungsi-fungsi yang kompleks. Salah satu jenis integral yang sering muncul adalah integral dari pecahan rasional dengan akar kuadrat di penyebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mencari integral dari pecahan rasional dengan akar kuadrat di penyebut, dengan menggunakan contoh kasus integral $\int \frac {2x+3}{\sqrt {3x^{2}+9x-1}}dx$. Pertama-tama, kita perlu memahami konsep dasar dalam mencari integral. Integral adalah operasi yang merupakan kebalikan dari diferensiasi. Dalam mencari integral, kita mencari fungsi yang merupakan turunan dari fungsi yang diberikan. Dalam kasus ini, kita ingin mencari fungsi $F(x)$ yang memenuhi $F'(x) = \frac {2x+3}{\sqrt {3x^{2}+9x-1}}$. Untuk mencari integral dari pecahan rasional dengan akar kuadrat di penyebut, kita dapat menggunakan metode substitusi. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan substitusi $u = 3x^{2}+9x-1$. Dengan substitusi ini, kita dapat mengubah integral menjadi bentuk yang lebih sederhana. Setelah melakukan substitusi, kita dapat menghitung $du$ dengan menghitung turunan dari $u$ terhadap $x$. Dalam kasus ini, kita memiliki $du = (6x+9)dx$. Dengan mengganti $dx$ dengan $\frac {du}{6x+9}$, kita dapat menyederhanakan integral menjadi $\int \frac {2x+3}{\sqrt {u}} \cdot \frac {du}{6x+9}$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan pecahan menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita dapat membagi penyebut dan pembilang dengan $3$ sehingga integral menjadi $\frac {1}{3} \int \frac {2x+3}{\sqrt {u}} \cdot \frac {du}{2x+3}$. Dengan melakukan substitusi lagi, kita dapat mengubah integral menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan substitusi $v = \sqrt {u}$. Dengan substitusi ini, kita dapat mengubah integral menjadi $\frac {1}{3} \int \frac {1}{v} \cdot dv$. Integral ini dapat dengan mudah dihitung, dan hasilnya adalah $\frac {1}{3} \ln |v| + C$, di mana $C$ adalah konstanta integrasi. Terakhir, kita perlu mengganti kembali $v$ dengan $u$ dan $u$ dengan $x$ untuk mendapatkan hasil akhir. Dalam kasus ini, kita memiliki $v = \sqrt {u}$, sehingga $u = v^{2}$. Dengan mengganti kembali, kita mendapatkan hasil akhir $\frac {1}{3} \ln |\sqrt {u}| + C$. Dalam kasus ini, $u = 3x^{2}+9x-1$, sehingga hasil akhirnya adalah $\frac {1}{3} \ln |\sqrt {3x^{2}+9x-1}| + C$. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana mencari integral dari pecahan rasional dengan akar kuadrat di penyebut. Dengan menggunakan metode substitusi, kita dapat menyederhanakan integral menjadi bentuk yang lebih sederhana dan menghitung hasilnya.