Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertam

4
(194 votes)

<br/ >Persamaan diferensial orde pertama adalah jenis persamaan diferensial yang melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan diferensial \( y^{\prime}+x^{2} y=0 \) dengan kondisi awal \( y(1)=1 \). Tujuan kita adalah untuk menemukan solusi dari persamaan diferensial ini. <br/ > <br/ >Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Pertama, kita memisahkan variabel dengan memindahkan semua suku yang mengandung \( y \) ke satu sisi persamaan dan semua suku yang mengandung \( x \) ke sisi lainnya. Dalam hal ini, kita mendapatkan \( \frac{{dy}}{{dx}}=-x^{2} y \). <br/ > <br/ >Selanjutnya, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( y \) dan \( dx \) untuk mendapatkan \( \frac{{dy}}{{y}}=-x^{2} dx \). Kemudian, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini. Integrasi dari \( \frac{{dy}}{{y}} \) adalah \( \ln|y| \) dan integrasi dari \( -x^{2} \) adalah \( -\frac{{x^{3}}}{{3}} \). Sehingga, kita mendapatkan \( \ln|y|=-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C \), di mana \( C \) adalah konstanta integrasi. <br/ > <br/ >Selanjutnya, kita dapat mengekspresikan \( y \) dalam bentuk eksponensial dengan mengambil eksponen dari kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, kita mendapatkan \( |y|=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \). Karena \( e^{C} \) adalah konstanta positif, kita dapat menggantikan \( |y| \) dengan \( y \) sehingga kita mendapatkan \( y=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \). <br/ > <br/ >Untuk menentukan nilai konstanta \( C \), kita menggunakan kondisi awal \( y(1)=1 \). Dalam hal ini, kita dapat menggantikan \( x \) dengan \( 1 \) dan \( y \) dengan \( 1 \) dalam persamaan solusi kita. Sehingga, kita mendapatkan \( 1=e^{-\frac{{1^{3}}}{{3}}+C} \). Dengan mengambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan ini, kita dapat menentukan nilai \( C \). Setelah menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggantikan nilai \( C \) dalam solusi kita. <br/ > <br/ >Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial \( y^{\prime}+x^{2} y=0 \) dengan kondisi awal \( y(1)=1 \) adalah \( y=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \), di mana \( C \) adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal.