Menentukan Suku ke-n dan Jumlah n Suku Pertama pada Barisan Geometri

(282 votes)

Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan geometri merupakan konsep penting dalam matematika, khususnya dalam aljabar. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku berurutan. Memahami cara menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan geometri sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan aplikasi praktisnya.

Rumus Suku ke-n pada Barisan Geometri

Rumus suku ke-n pada barisan geometri adalah a_n = a₁ * r^(n-1), di mana a_n adalah suku ke-n, a₁ adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku. Rumus ini menunjukkan bahwa setiap suku pada barisan geometri dapat dihitung dengan mengalikan suku pertama dengan rasio pangkat (n-1).

Sebagai contoh, perhatikan barisan geometri 2, 4, 8, 16, ... Suku pertama (a₁) adalah 2, dan rasio (r) adalah 4/2 = 2. Untuk menentukan suku ke-5 (a₅), kita dapat menggunakan rumus a_n = a₁ * r^(n-1). Dengan mensubstitusikan nilai a₁ = 2, r = 2, dan n = 5, kita mendapatkan a₅ = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2⁴ = 2 * 16 = 32.

Rumus Jumlah n Suku Pertama pada Barisan Geometri

Rumus jumlah n suku pertama pada barisan geometri adalah S_n = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r), di mana S_n adalah jumlah n suku pertama, a₁ adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku. Rumus ini menunjukkan bahwa jumlah n suku pertama pada barisan geometri dapat dihitung dengan mengalikan suku pertama dengan (1 - rⁿ) dan kemudian dibagi dengan (1 - r).

Sebagai contoh, perhatikan barisan geometri 2, 4, 8, 16, ... Untuk menentukan jumlah 5 suku pertama (S₅), kita dapat menggunakan rumus S_n = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r). Dengan mensubstitusikan nilai a₁ = 2, r = 2, dan n = 5, kita mendapatkan S₅ = 2 * (1 - 2⁵) / (1 - 2) = 2 * (1 - 32) / (-1) = 2 * (-31) / (-1) = 62.

Aplikasi Barisan Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Barisan geometri memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, pertumbuhan populasi, bunga majemuk, dan peluruhan radioaktif dapat dimodelkan menggunakan barisan geometri. Dalam pertumbuhan populasi, jumlah penduduk dapat meningkat secara eksponensial dengan rasio tetap. Dalam bunga majemuk, jumlah uang yang diinvestasikan dapat meningkat secara eksponensial dengan rasio tetap. Dalam peluruhan radioaktif, jumlah zat radioaktif dapat menurun secara eksponensial dengan rasio tetap.

Kesimpulan

Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan geometri merupakan konsep penting dalam matematika. Rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama pada barisan geometri dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan aplikasi praktisnya. Memahami konsep ini dapat membantu kita memahami berbagai fenomena alam dan sosial yang dapat dimodelkan menggunakan barisan geometri.