Fungsi Turun pada Interval: Analisis Fungsi $f(x)=2x^{3}-21x^{2}+60x-12$
Fungsi $f(x)=2x^{3}-21x^{2}+60x-12$ akan turun pada interval. Untuk membuktikan hal ini, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi ini dan menentukan kapan turunan pertama negatif. Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Turunan pertama dari fungsi polinomial dapat ditemukan dengan mengalikan setiap suku dengan pangkatnya dan mengurangi pangkatnya dengan 1. Dalam kasus ini, turunan pertama dari $f(x)$ adalah: $f'(x)=6x^{2}-42x+60$ Langkah selanjutnya adalah mencari kapan turunan pertama negatif. Kita dapat melakukannya dengan mencari akar-akar dari turunan pertama dan memeriksa tanda-tanda di antara akar-akar ini. Untuk mencari akar-akar dari turunan pertama, kita dapat menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat. Menggunakan faktorisasi, kita dapat membagi turunan pertama dengan faktor umum 6: $f'(x)=6(x^{2}-7x+10)$ Kemudian, kita dapat memfaktorkan lebih lanjut faktor dalam tanda kurung: $f'(x)=6(x-2)(x-5)$ Dari faktorisasi ini, kita dapat melihat bahwa akar-akar dari turunan pertama adalah $x=2$ dan $x=5$. Sekarang, kita perlu memeriksa tanda-tanda di antara akar-akar ini. Kita dapat menggunakan uji interval untuk memeriksa tanda-tanda di antara akar-akar ini. Pilih titik uji di antara akar-akar, misalnya $x=3$. Substitusikan nilai ini ke dalam turunan pertama: $f'(3)=6(3-2)(3-5)=-12$ Karena hasilnya negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa turunan pertama negatif di antara akar-akar $x=2$ dan $x=5$. Ini berarti bahwa fungsi $f(x)=2x^{3}-21x^{2}+60x-12$ akan turun pada interval ini. Dengan demikian, jawaban untuk pertanyaan ini adalah $f(x)-2x^{3}-6x^{2}+7$ akan turun pada interval $x \in (2,5)$.