Menghitung Nilai Integral dengan Metode Substitusi
Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep penting yang digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi. Salah satu metode yang sering digunakan untuk menghitung integral adalah metode substitusi. Metode ini memungkinkan kita untuk mengubah variabel dalam integral sehingga menjadi lebih mudah untuk dihitung. Untuk mengilustrasikan metode substitusi, mari kita lihat contoh soal berikut: $\int _{-2}^{1}(4x^{2}+3x-7)dx$. Kita akan menggunakan metode substitusi untuk menghitung nilai integral ini. Langkah pertama dalam metode substitusi adalah memilih substitusi yang tepat. Dalam kasus ini, kita akan memilih substitusi $u = 4x^2 + 3x - 7$. Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapat menghitung turunan dari $u$ terhadap $x$, yaitu $\frac{du}{dx} = 8x + 3$. Langkah kedua adalah mengganti variabel dalam integral dengan substitusi yang telah kita pilih. Dalam hal ini, kita akan mengganti $4x^2 + 3x - 7$ dengan $u$. Jadi, integral kita menjadi $\int u \, dx$. Langkah ketiga adalah menghitung $dx$ dalam hal $du$. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan rantai lagi untuk menghitung $\frac{dx}{du}$. Dari turunan $\frac{du}{dx} = 8x + 3$, kita dapatkan $\frac{dx}{du} = \frac{1}{8x + 3}$. Langkah terakhir adalah mengganti $dx$ dalam integral dengan $du$. Jadi, integral kita menjadi $\int u \, \frac{dx}{du} \, du$. Dalam hal ini, kita dapat mengganti $\frac{dx}{du}$ dengan $\frac{1}{8x + 3}$. Sekarang kita dapat menghitung integral baru ini dengan lebih mudah. Integral $\int u \, \frac{dx}{du} \, du$ menjadi $\int u \, \frac{1}{8x + 3} \, du$. Kita dapat mengintegrasikan $u$ terhadap $du$ dengan menggunakan aturan integral dasar. Hasilnya adalah $\frac{1}{8}u^2 + C$, di mana $C$ adalah konstanta integrasi. Terakhir, kita perlu mengganti kembali $u$ dengan $4x^2 + 3x - 7$. Jadi, nilai integral awal $\int _{-2}^{1}(4x^{2}+3x-7)dx$ adalah $\frac{1}{8}(4x^2 + 3x - 7)^2 + C$. Dengan menggunakan batas bawah dan batas atas integral, kita dapat menghitung nilai integral ini. Jadi, nilai dari $\int _{-2}^{1}(4x^{2}+3x-7)dx$ adalah $\frac{1}{8}(4(1)^2 + 3(1) - 7)^2 - \frac{1}{8}(4(-2)^2 + 3(-2) - 7)^2 + C$. Setelah menghitung nilai integral ini, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai dari $\int _{-2}^{1}(4x^{2}+3x-7)dx$ adalah $\frac{45}{2}$.