Konstruksi Subgrup Normal Kabur dari Grup Simetris \( S_{3} \)
Grup simetris \( S_{3} \) memiliki tiga subgrup normal, yaitu \( K_{1}=\{I\}, M=\{I,(123),(132)\} \), dan \( S_{3} \) itu sendiri. Diagram dari kisi subgrup normal \( S_{3} \) ditunjukkan di bawah ini: Gambar 3 Sekarang kita akan menentukan jumlah subgrup normal kabur dalam \( S_{3} \). Jika \( Q_{1}(\mu)=S_{3} \), maka \( S_{3} \) memiliki 1 subgrup normal kabur, yaitu \[ \mu_{1}(x)=\theta_{1} \forall x \in S_{4} . \] Jika \( Q_{1}(\mu)=M \), maka terdapat 1 subgrup normal kabur dari \( S_{3} \), yaitu \[ H_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \theta_{1} . & x \in M . \\ \theta_{2} . & x \in S_{3} \backslash M . \end{array}\right. \] Jika \( Q_{1}(\mu)=K_{1}=\{I\} \), maka kita memiliki 2 subgrup normal kabur. Jadi, \( S_{3} \) memiliki \( 2 \times(1+1)=4 \) subgrup normal kabur.