Menyelesaikan Barisan Aritmetika dengan Persamaan
Barisan aritmetika adalah urutan bilangan di mana setiap suku dihasilkan dengan menambahkan suku sebelumnya dengan selisih yang tetap. Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan pada tugas untuk menyelesaikan barisan aritmetika dengan persamaan. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menyelesaikan barisan aritmetika dengan persamaan yang diberikan. Dalam soal yang diberikan, kita diberikan dua persamaan: \[ \begin{array}{l} U_{2}+U_{4}+U_{6}=15 \\ U_{3}+U_{5}+U_{7}=27 \end{array} \] Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat barisan aritmetika. Pertama, kita perlu menemukan suku pertama (U1) dan selisih antar suku (d). Dalam hal ini, kita tidak diberikan nilai U1 dan d secara langsung, tetapi kita dapat menggunakan persamaan yang diberikan untuk mencarinya. Dalam persamaan pertama, kita dapat mengganti suku-suku dengan notasi umum untuk barisan aritmetika: \[ U_{1}+U_{1}+d+U_{1}+2d=15 \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \[ 3U_{1}+3d=15 \] Dalam persamaan kedua, kita juga dapat mengganti suku-suku dengan notasi umum: \[ U_{1}+2d+U_{1}+3d+U_{1}+4d=27 \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \[ 3U_{1}+9d=27 \] Kita sekarang memiliki sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan dua variabel (U1 dan d). Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode substitusi. Dari persamaan pertama, kita dapat menyederhanakan menjadi: \[ U_{1}+d=5 \] Kemudian, kita dapat menggantikan nilai U1 dalam persamaan kedua dengan nilai U1+5: \[ 3(U_{1}+5)+9d=27 \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \[ 3U_{1}+15+9d=27 \] Kemudian, kita dapat mengurangi 15 dari kedua sisi persamaan: \[ 3U_{1}+9d=12 \] Sekarang kita memiliki sistem persamaan baru: \[ \begin{array}{l} U_{1}+d=5 \\ 3U_{1}+9d=12 \end{array} \] Kita dapat menggunakan metode substitusi lagi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini. Dari persamaan pertama, kita dapat menyederhanakan menjadi: \[ U_{1}=5-d \] Kemudian, kita dapat menggantikan nilai U1 dalam persamaan kedua dengan nilai 5-d: \[ 3(5-d)+9d=12 \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \[ 15-3d+9d=12 \] Kemudian, kita dapat mengurangi 15 dari kedua sisi persamaan: \[ 6d=-3 \] Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 6: \[ d=-\frac{1}{2} \] Sekarang kita telah menemukan nilai selisih antar suku (d). Untuk menemukan nilai suku pertama (U1), kita dapat menggantikan nilai d dalam persamaan pertama: \[ U_{1}+(-\frac{1}{2})=5 \] Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini: \[ U_{1}=\frac{11}{2} \] Dengan demikian, kita telah menemukan nilai U1 dan d. Sekarang kita dapat menggunakan nilai ini untuk menemukan suku-suku lain dalam