Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen dengan Matriks Koefisien Tertentu
Sistem persamaan linier homogen adalah sistem persamaan linier di mana semua konstanta pada sisi kanan persamaan adalah nol. Dalam artikel ini, kita akan membahas solusi dari sistem persamaan linier homogen yang memiliki matriks koefisien tertentu. Matriks koefisien yang akan kita bahas adalah sebagai berikut: \[ A=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{array}\right] \] Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen ini, kita perlu mencari vektor-vektor yang memenuhi persamaan homogen. Vektor-vektor ini akan membentuk ruang solusi dari sistem persamaan linier homogen. Langkah pertama dalam mencari ruang solusi adalah dengan mengubah matriks koefisien menjadi bentuk eselon baris. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk mencapai bentuk eselon baris. Setelah matriks koefisien berada dalam bentuk eselon baris, kita dapat menentukan variabel bebas dan variabel terikat dalam sistem persamaan linier homogen. Setelah menentukan variabel bebas dan variabel terikat, kita dapat mengekspresikan solusi dari sistem persamaan linier homogen dalam bentuk parameter. Parameter ini akan memungkinkan kita untuk menghasilkan semua vektor dalam ruang solusi. Dalam kasus matriks koefisien yang diberikan, setelah melakukan eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan bentuk eselon baris sebagai berikut: \[ \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] Dari bentuk eselon baris ini, kita dapat melihat bahwa variabel terikat adalah $x_3$ dan $x_4$, sedangkan variabel bebas adalah $x_1$ dan $x_2$. Dengan menggunakan parameter $t$ dan $s$ untuk masing-masing variabel bebas, kita dapat mengekspresikan solusi dari sistem persamaan linier homogen ini sebagai berikut: \[ \begin{align*} x_1 &= -t - 2s \\ x_2 &= -t - s \\ x_3 &= t \\ x_4 &= s \end{align*} \] Dengan menggunakan parameter $t$ dan $s$, kita dapat menghasilkan semua vektor dalam ruang solusi. Misalnya, jika kita mengambil $t = 1$ dan $s = 0$, kita mendapatkan vektor solusi $[-1, -1, 1, 0]$. Jika kita mengambil $t = 0$ dan $s = 1$, kita mendapatkan vektor solusi $[-2, -1, 0, 1]$. Dengan mengganti nilai $t$ dan $s$, kita dapat menghasilkan berbagai vektor dalam ruang solusi. Dalam artikel ini, kita telah membahas solusi dari sistem persamaan linier homogen yang memiliki matriks koefisien tertentu. Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, kita dapat menentukan variabel bebas dan variabel terikat dalam sistem persamaan linier homogen. Dengan menggunakan parameter, kita dapat mengekspresikan solusi dalam bentuk parameter dan menghasilkan semua vektor dalam ruang solusi.