Persamaan Lingkaran dan Titik Pusat serta Jari-jariny
Dalam matematika, persamaan lingkaran adalah salah satu topik yang penting untuk dipelajari. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusatnya. Persamaan umum dari lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana (a,b) adalah koordinat titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan lingkaran $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0$. Untuk menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran, kita perlu mengubah persamaan ini menjadi bentuk yang sesuai. Langkah pertama adalah mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel x dan y. Kita dapat melakukan ini dengan mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel x dan y secara terpisah. Dalam hal ini, kita memiliki $(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) - 15 = 0$. Selanjutnya, kita perlu melengkapi kuadrat sempurna untuk suku-suku yang memiliki variabel x dan y. Untuk melengkapi kuadrat sempurna untuk suku $(x^2 - 2x)$, kita perlu menambahkan $(2/2)^2 = 1$ ke kedua sisi persamaan. Hal yang sama juga berlaku untuk suku $(y^2 - 6y)$, kita perlu menambahkan $(6/2)^2 = 9$ ke kedua sisi persamaan. Setelah melakukannya, persamaan menjadi $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) - 15 + 1 + 9 = 0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 - 15 + 1 + 9 = 0$. Setelah menyederhanakan, persamaan menjadi $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 - 5 = 0$. Sekarang kita dapat melihat bahwa persamaan ini sesuai dengan bentuk umum persamaan lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Dalam hal ini, titik pusat lingkaran adalah (1, 3) dan jari-jarinya adalah akar kuadrat dari 5. Jadi, jawaban yang benar adalah b. (1, 3) dan r = 5.