Konvergensi atau Divergensi dari Deret yang Diberikan
Dalam matematika, deret adalah jumlah tak terhingga dari suku-suku yang terkait. Salah satu pertanyaan yang sering muncul adalah apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Dalam artikel ini, kita akan menggunakan metode yang kita ketahui untuk menentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Mari kita lihat deret yang diberikan: $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n}}{(2n)^{n}}$ Untuk menentukan konvergensi atau divergensi deret ini, kita dapat menggunakan beberapa metode seperti uji perbandingan, uji rasio, atau uji akar. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan uji rasio. Uji rasio melibatkan menghitung batas dari rasio antara suku-suku berturut-turut dari deret. Jika batas ini kurang dari 1, maka deret konvergen. Jika batas ini lebih dari 1, maka deret divergen. Jika batas ini sama dengan 1, maka uji rasio tidak memberikan hasil yang pasti dan metode lain harus digunakan. Mari kita terapkan uji rasio pada deret yang diberikan. Kita akan menghitung batas dari rasio antara suku-suku berturut-turut: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {\frac {(-1)^{n+1}((n+1)+1)^{n+1}}{(2(n+1))^{n+1}}}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n}}{(2n)^{n}}}\right|$ Sekarang, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)^{n+1}(n+2)^{n+1}(2n)^{n}}{(-1)^{n}(n+1)^{n}(2(n+1))^{n+1}}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)(n+2)^{n+1}(2n)^{n}}{(n+1)^{n}(2(n+1))^{n+1}}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)(n+2)(2n)^{n}}{(n+1)^{n}(2(n+1))^{n+1}}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)(n+2)(2n)^{n}}{(n+1)^{n}(2n+2)^{n+1}}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)(n+2)(2n)^{n}}{(n+1)^{n}(2n)^{n+1}(2)\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(-1)(n+2)}{(n+1)(2n)}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {-(n+2)}{(n+1)(2n)}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {-(n+2)}{2n(n+1)}\right|$ $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {-1}{2}\right|$ $\frac {1}{2}$ Batas dari rasio antara suku-suku berturut-turut dari deret ini adalah $\frac {1}{2}$, yang kurang dari 1. Oleh karena itu, berdasarkan uji rasio, deret ini konvergen. Dalam artikel ini, kita telah menggunakan metode uji rasio untuk menentukan konvergensi atau divergensi dari deret yang diberikan. Dalam kasus ini, deret tersebut konvergen dengan batas $\frac {1}{2}$.