Proyeksi Skalar Ortogonal Vektor a pada Vektor b
Dalam masalah ini, kita diberikan vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 5 \\ 2\end{array}\right) \) dan \( \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{x} \\ 2 \\ -4\end{array}\right) \). Kita diminta untuk menentukan bilangan bulat \( x \) yang memenuhi persamaan dan juga proyeksi vektor ortogonal vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) pada vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan konsep proyeksi skalar ortogonal. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) pada vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \) dapat dihitung menggunakan rumus berikut: \[ \mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{b}}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}) = \frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{b}}\|^2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}} \] Di sini, \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}} \) adalah hasil perkalian dot antara vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) dan \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \), dan \( \|\overrightarrow{\mathrm{b}}\|^2 \) adalah kuadrat norma vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \). Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa proyeksi skalar ortogonal vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) pada vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \) adalah \( -\frac{1}{3} \sqrt{6} \). Dengan menggunakan rumus di atas, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk menentukan nilai \( x \) yang memenuhi. Selanjutnya, kita juga diminta untuk menentukan proyeksi vektor ortogonal vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) pada vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus yang sama untuk menghitung proyeksi vektor ortogonal. Dengan menggunakan rumus-rumus ini, kita dapat menyelesaikan masalah ini dan menentukan nilai \( x \) yang memenuhi persamaan serta proyeksi vektor ortogonal vektor \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) pada vektor \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \). Dalam penyelesaian masalah ini, kita akan menggunakan metode aljabar linier dan manipulasi vektor untuk mencapai jawaban yang akurat dan faktual.