Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat Sempurn
Persamaan kuadrat adalah bentuk persamaan matematika yang melibatkan variabel dengan pangkat tertinggi dua. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat pertama yang akan kita bahas adalah $x^{2}-4x-1=0$. Untuk mencari akar-akar persamaan ini, kita perlu melengkapi kuadrat sempurna. Langkah pertama adalah mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel $x$ dan yang tidak memiliki variabel $x$. Dalam persamaan ini, suku $-4x$ adalah suku yang memiliki variabel $x$, sedangkan suku $-1$ adalah suku yang tidak memiliki variabel $x$. Kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai $(x^{2}-4x)+(-1)=0$. Langkah berikutnya adalah melengkapi kuadrat sempurna dari suku yang memiliki variabel $x$. Untuk melengkapi kuadrat sempurna dari $x^{2}-4x$, kita perlu menambahkan kuadrat dari setengah koefisien dari suku $-4x$. Setengah dari $-4$ adalah $-2$, jadi kita perlu menambahkan $(-2)^{2}=4$ ke kedua sisi persamaan. Persamaan menjadi $(x^{2}-4x+4)+(-1+4)=0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $(x-2)^{2}+3=0$. Sekarang kita dapat mencari akar-akar persamaan ini dengan menghilangkan kuadrat sempurna. Kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai $(x-2)^{2}=-3$. Karena kuadrat tidak dapat bernilai negatif, persamaan ini tidak memiliki akar real. Namun, jika kita memperluas himpunan bilangan ke bilangan kompleks, kita dapat menulis akar-akar persamaan ini sebagai $x=2+i\sqrt{3}$ dan $x=2-i\sqrt{3}$. Selanjutnya, kita akan mencari akar-akar persamaan kuadrat $2x^{2}+7x-15=0$. Kita akan menggunakan metode yang sama untuk melengkapi kuadrat sempurna. Kita perlu mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel $x$ dan yang tidak memiliki variabel $x$. Dalam persamaan ini, suku $2x^{2}$ adalah suku yang memiliki variabel $x$, sedangkan suku $7x$ dan $-15$ adalah suku yang tidak memiliki variabel $x$. Kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai $(2x^{2}+7x)+(-15)=0$. Langkah berikutnya adalah melengkapi kuadrat sempurna dari suku yang memiliki variabel $x$. Untuk melengkapi kuadrat sempurna dari $2x^{2}+7x$, kita perlu menambahkan kuadrat dari setengah koefisien dari suku $7x$. Setengah dari $7$ adalah $3.5$, jadi kita perlu menambahkan $(3.5)^{2}=12.25$ ke kedua sisi persamaan. Persamaan menjadi $(2x^{2}+7x+12.25)+(-15+12.25)=0$. Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $(x+3.5)^{2}-2.75=0$. Sekarang kita dapat mencari akar-akar persamaan ini dengan menghilangkan kuadrat sempurna. Kita dapat menulis ulang persamaan ini sebagai $(x+3.5)^{2}=2.75$. Kita dapat mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan ini untuk mencari akar-akar persamaan. Akar-akar persamaan ini adalah $x=-3.5+\sqrt{2.75}$ dan $x=-3.5-\sqrt{2.75}$. Dalam persamaan kuadrat $21-4x-x^{2}=0$, kita perlu melengkapi ku