Apakah \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle=3 \bar{u}_{1} \bar{v}_{1}+2 \bar{u}_{2} \bar{v}_{2}+\bar{u}_{3} \bar{v}_{3} \) merupakan ruang hasil kali dalam? Jika tidak, aksioma mana yang tidak terpenuhi?
Dalam matematika, ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor yang memiliki operasi hasil kali dalam yang memenuhi beberapa aksioma tertentu. Dalam artikel ini, kita akan mengeksplorasi apakah hasil kali dalam yang diberikan, yaitu \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle=3 \bar{u}_{1} \bar{v}_{1}+2 \bar{u}_{2} \bar{v}_{2}+\bar{u}_{3} \bar{v}_{3} \), memenuhi syarat-syarat untuk menjadi ruang hasil kali dalam. Untuk memastikan apakah hasil kali dalam ini memenuhi syarat-syarat, kita perlu memeriksa aksioma-aksioma yang harus dipenuhi oleh ruang hasil kali dalam. Aksioma-aksioma ini meliputi: 1. Komutativitas: Hasil kali dalam harus memenuhi sifat komutatif, yaitu \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle = \langle\bar{v}, \bar{u}\rangle \) untuk setiap vektor \(\bar{u}\) dan \(\bar{v}\). 2. Distributivitas: Hasil kali dalam harus memenuhi sifat distributif terhadap penjumlahan vektor, yaitu \( \langle\bar{u}, \bar{v} + \bar{w}\rangle = \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle + \langle\bar{u}, \bar{w}\rangle \) dan \( \langle\bar{u} + \bar{v}, \bar{w}\rangle = \langle\bar{u}, \bar{w}\rangle + \langle\bar{v}, \bar{w}\rangle \) untuk setiap vektor \(\bar{u}\), \(\bar{v}\), dan \(\bar{w}\). 3. Asosiativitas: Hasil kali dalam harus memenuhi sifat asosiatif terhadap perkalian skalar, yaitu \( \langle k\bar{u}, \bar{v}\rangle = k \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle \) dan \( \langle\bar{u}, k\bar{v}\rangle = k \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle \) untuk setiap vektor \(\bar{u}\) dan \(\bar{v}\), dan setiap skalar \(k\). Setelah memeriksa aksioma-aksioma ini, kita dapat mengevaluasi apakah hasil kali dalam yang diberikan memenuhi syarat-syarat tersebut. Jika hasil kali dalam memenuhi semua aksioma-aksioma ini, maka dapat dikatakan bahwa \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle=3 \bar{u}_{1} \bar{v}_{1}+2 \bar{u}_{2} \bar{v}_{2}+\bar{u}_{3} \bar{v}_{3} \) merupakan ruang hasil kali dalam. Namun, jika ada aksioma yang tidak terpenuhi, maka hasil kali dalam tersebut bukanlah ruang hasil kali dalam. Dalam kasus ini, mari kita periksa apakah hasil kali dalam ini memenuhi aksioma-aksioma yang telah disebutkan sebelumnya. Setelah melakukan perhitungan dan analisis, kita dapat menyimpulkan bahwa hasil kali dalam ini memenuhi semua aksioma-aksioma tersebut. Oleh karena itu, \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle=3 \bar{u}_{1} \bar{v}_{1}+2 \bar{u}_{2} \bar{v}_{2}+\bar{u}_{3} \bar{v}_{3} \) merupakan ruang hasil kali dalam. Dalam kesimpulan, hasil kali dalam yang diberikan memenuhi semua aksioma-aksioma yang harus dipenuhi oleh ruang hasil kali dalam. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa \( \langle\bar{u}, \bar{v}\rangle=3 \bar