Mencari Batas Nilai x yang Memenuhi Persamaan $cos2x=-cosx$

(369 votes)

Dalam matematika, persamaan trigonometri adalah salah satu topik yang menarik untuk dipelajari. Salah satu persamaan trigonometri yang menarik adalah persamaan $cos2x=-cosx$. Persamaan ini melibatkan fungsi kosinus dan mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari batas nilai x yang memenuhi persamaan $cos2x=-cosx$, kita perlu menggunakan beberapa konsep trigonometri dan aljabar. Pertama, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana. Identitas trigonometri yang berguna dalam hal ini adalah $cos2x=1-2sin^2x$ dan $cosx=1-2sin^2(\frac{x}{2})$. Dengan menggunakan identitas tersebut, persamaan awal dapat ditulis ulang menjadi $1-2sin^2x=-1+2sin^2(\frac{x}{2})$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $4sin^2(\frac{x}{2})-2sin^2x=2$. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menggunakan metode aljabar untuk menyelesaikan persamaan ini. Pertama, kita dapat menggabungkan suku-suku yang memiliki sin^2x dan sin^2(\frac{x}{2}) menjadi satu suku. Dengan melakukan hal ini, persamaan menjadi $4sin^2(\frac{x}{2})-2sin^2(\frac{x}{2})-2sin^2x=2$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $2sin^2(\frac{x}{2})-2sin^2x=2$. Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 2 untuk mendapatkan $sin^2(\frac{x}{2})-sin^2x=1$. Dengan menggunakan identitas trigonometri $sin^2x=1-cos^2x$, persamaan ini dapat ditulis ulang menjadi $sin^2(\frac{x}{2})-(1-cos^2x)=1$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $sin^2(\frac{x}{2})+cos^2x=2$. Dalam trigonometri, identitas trigonometri yang paling terkenal adalah $sin^2x+cos^2x=1$. Namun, dalam persamaan ini, kita memiliki $sin^2(\frac{x}{2})$ dan $cos^2x$. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan identitas trigonometri yang sesuai untuk menyelesaikan persamaan ini. Identitas trigonometri yang berguna dalam hal ini adalah $sin^2(\frac{x}{2})=1-cos^2(\frac{x}{2})$ dan $cos^2x=1-sin^2x$. Dengan menggunakan identitas tersebut, persamaan dapat ditulis ulang menjadi $1-cos^2(\frac{x}{2})+1-sin^2x=2$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi $2-cos^2(\frac{x}{2})-sin^2x=2$. Kemudian, kita dapat menggabungkan suku-suku yang memiliki cos^2(\frac{x}{2}) dan sin^2x menjadi satu suku. Dengan melakukan hal ini, persamaan menjadi $2-(cos^2(\frac{x}{2})+sin^2x)=2$. Dalam trigonometri, identitas trigonometri yang paling terkenal adalah $cos^2x+sin^2x=1$. Oleh karena itu, persamaan ini dapat ditulis ulang menjadi $2-(1)=2$. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan $cos2x=-cosx$ tidak memiliki batas nilai x yang memenuhi.