Mencari Nilai-nilai \( \mathrm{x} \) yang Memenuhi Persamaan \( 2 \sec x=1+\cos x \) untuk \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \)
Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk mencari nilai-nilai yang memenuhi persamaan tertentu. Salah satu persamaan yang menarik untuk diteliti adalah \( 2 \sec x=1+\cos x \). Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini dalam rentang \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \). Untuk memulai, mari kita tinjau terlebih dahulu apa itu fungsi sekant dan kosinus. Fungsi sekant (\( \sec x \)) didefinisikan sebagai kebalikan dari fungsi kosinus (\( \cos x \)). Dalam kata lain, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \). Oleh karena itu, persamaan \( 2 \sec x=1+\cos x \) dapat ditulis ulang menjadi \( 2 \cdot \frac{1}{\cos x} = 1+\cos x \). Untuk mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik aljabar. Pertama, kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan \( \cos x \) untuk menghilangkan denominasi di sebelah kiri. Hal ini menghasilkan persamaan \( 2 = \cos x + \cos^2 x \). Selanjutnya, kita dapat menggabungkan kedua suku di sebelah kanan persamaan menjadi satu suku. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Dengan menggantikan \( \cos^2 x \) dengan \( 1 - \sin^2 x \), persamaan menjadi \( 2 = \cos x + 1 - \sin^2 x \). Kemudian, kita dapat menggabungkan kedua suku di sebelah kanan persamaan menjadi satu suku lagi. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \). Dengan menggantikan \( \cos x \) dengan \( \sqrt{1 - \sin^2 x} \), persamaan menjadi \( 2 = \sqrt{1 - \sin^2 x} + 1 - \sin^2 x \). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan. Hal ini menghasilkan persamaan \( 4 = 1 - \sin^2 x + 2\sqrt{1 - \sin^2 x} + 1 - \sin^2 x \). Kemudian, kita dapat menggabungkan kedua suku di sebelah kanan persamaan menjadi satu suku lagi. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Dengan menggantikan \( \sin^2 x + \cos^2 x \) dengan \( 1 \), persamaan menjadi \( 4 = 2 - 2\sin^2 x + 2\sqrt{1 - \sin^2 x} \). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengurangi kedua sisi persamaan dengan 2. Hal ini menghasilkan persamaan \( 2 = -2\sin^2 x + 2\sqrt{1 - \sin^2 x} \). Kemudian, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 2. Hal ini menghasilkan persamaan \( 1 = -\sin^2 x + \sqrt{1 - \sin^2 x} \). Selanjutnya, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi persamaan lagi. Hal ini menghasilkan persamaan \( 1 = \sin^4 x - 2\sin^2 x + 1 - \sin^2 x \). Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa. Hal ini menghasilkan persamaan \( 0 = \sin^4 x - 3\sin^2 x \). Selanjutnya, kita dapat memfaktorkan persamaan ini. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \). Dengan menggantikan \( \sin^2 x \) dengan \( 1 - \cos^2 x \), persamaan menjadi \( 0 = (1 - \cos^2 x)(\cos^2 x - 3) \). Kemudian, kita dapat mencari nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini. Pertama, kita mencari nilai-nilai \( x \) yang membuat \( 1 - \cos^2 x = 0 \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Dengan menggantikan \( \cos^2 x \) dengan \( 1 - \sin^2 x \), persamaan menjadi \( 1 - (1 - \sin^2 x) = 0 \). Hal ini menghasilkan persamaan \( \sin^2 x = 0 \). Nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini adalah \( x = 0^{\circ} \) dan \( x = 180^{\circ} \). Selanjutnya, kita mencari nilai-nilai \( x \) yang membuat \( \cos^2 x - 3 = 0 \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Dengan menggantikan \( \cos^2 x \) dengan \( 1 - \sin^2 x \), persamaan menjadi \( 1 - \sin^2 x - 3 = 0 \). Hal ini menghasilkan persamaan \( \sin^2 x = -2 \). Namun, tidak ada nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini dalam rentang \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \). Dengan demikian, nilai-nilai \( x \) yang memenuhi persamaan \( 2 \sec x=1+\cos x \) untuk \( 0^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ} \) adalah \( x = 0^{\circ} \) dan \( x = 180^{\circ} \).