Mengapa \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \) \( \neq \sqrt{x^{2}+7 x+5} \)?
Dalam matematika, batas adalah konsep penting yang digunakan untuk memahami perilaku suatu fungsi saat variabelnya mendekati suatu nilai tertentu. Dalam kasus ini, kita akan membahas mengapa \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \) tidak sama dengan \( \sqrt{x^{2}+7 x+5} \). Pertama-tama, mari kita evaluasi kedua ekspresi ini secara terpisah. Pertama, kita akan mengevaluasi \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \). Ketika \( x \) mendekati tak hingga, kita dapat mengabaikan konstanta dan fokus pada suku dengan pangkat tertinggi. Dalam hal ini, pangkat tertinggi adalah \( x^{2} \). Jadi, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi \( \sqrt{x^{2}}-\sqrt{4 x^{2}} \). Ketika kita menghilangkan akar kuadrat, kita mendapatkan \( x-2x \), yang sama dengan \( -x \). Jadi, \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \) adalah \( -x \) saat \( x \) mendekati tak hingga. Selanjutnya, mari kita evaluasi \( \sqrt{x^{2}+7 x+5} \). Kembali, kita dapat mengabaikan konstanta dan fokus pada suku dengan pangkat tertinggi. Dalam hal ini, pangkat tertinggi adalah \( x^{2} \). Jadi, kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi \( \sqrt{x^{2}} \). Ketika kita menghilangkan akar kuadrat, kita mendapatkan \( x \). Jadi, \( \sqrt{x^{2}+7 x+5} \) adalah \( x \). Dari perbandingan kedua ekspresi ini, kita dapat melihat bahwa \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \) tidak sama dengan \( \sqrt{x^{2}+7 x+5} \). Dalam kasus ini, \( \lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+5 x-2}-\sqrt{4 x^{2}-3 x+7} \) adalah \( -x \) saat \( x \) mendekati tak hingga, sedangkan \( \sqrt{x^{2}+7 x+5} \) adalah \( x \).